13 монет
Имеется 13 монет, из них ровно одна фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Требуется найти эту монету за три взвешивания. Весы - стандартные для задач этого типа: две чашечки без гирь.
Ответ
Рейтинг: : Отложим в сторону тринадцатую монету, а остальные обозначим следующим образом: FAKE MIND CLOT
Теперь взвешиваем одну четверку против другой (буквы обозначают монеты, входящие в каждую четверку): MA DO - LIKE, ME TO - FIND, FAKE - COIN. Теперь совершенно просто найти фальшивую монету, если она входит в эти двенадцать монет. К примеру, если результаты взвешивания были: слева легче, равно, слева легче, то фальшивой может быть только монета "A", которая легче других.
А что если фальшивой окажется все-таки отложенная нами, тринадцатая монета? Все очень просто: в этом случае при всех трёх взвешиваниях весы будут сбалансированы. К сожалению в этом случае нам не узнать легче или тяжелее тринадцатая монета, но в условии такого требования и не было :-)
Теперь взвешиваем одну четверку против другой (буквы обозначают монеты, входящие в каждую четверку): MA DO - LIKE, ME TO - FIND, FAKE - COIN. Теперь совершенно просто найти фальшивую монету, если она входит в эти двенадцать монет. К примеру, если результаты взвешивания были: слева легче, равно, слева легче, то фальшивой может быть только монета "A", которая легче других.
А что если фальшивой окажется все-таки отложенная нами, тринадцатая монета? Все очень просто: в этом случае при всех трёх взвешиваниях весы будут сбалансированы. К сожалению в этом случае нам не узнать легче или тяжелее тринадцатая монета, но в условии такого требования и не было :-)
+119
Комментарии:
Виталий, 2008-08-08
Не осилил!
Но ответ не верен!
Три взвешивания с тремя возможными результатами - всего 9 вариантов. Монет 12 - однозначно нельзя определить.
Гога, 2008-09-14
Я сделал. Думал неделю.Очень долго объяснять.
Ivaneo, 2008-10-13
Можно решить задачу и 3 взвешиваниями и при этом узнать легче фальшивая или нет.
Есть точно 2 способа решения задачи.
brox, 2009-04-11
Чудесная задача! Я знал принцип решения - то, что после первого взвешивания у нас появляются (как минимум) 4 точные гири, и что в идеале троичные весы при трех взвешиваниях дают 27 возможностей... Но то решение, которое приведено здесь, вообще жесть - не требует даже ручки и бумаги
Коля, 2009-08-07
Я предлагаю следующее решение (не исключаю той возможности, что могут быть допущены некоторые недочёты):
Взвесим две кучки по 4 монеты в каждой.
Пойдём от простого к сложному и предположим, что на весах установилось равенство, следовательно, фальшивая монета находится среди оставшихся пяти (и при этом у нас появилось 8 эталонных монет).
Теперь взвесим три эталонных монеты и три монеты из оставшейся кучки (из пяти монет): если установилось равенство, то фальшивая монета находится среди двух оставшихся и, имея одно взвешивание и эталонную монету, можно легко её найти; если равенство на весах нарушится: а)предположим "эталонная" кучка весит больше, следовательно, фальшивая монета легче настоящей и с помощью одного взвешивания можно (опять-таки) её найти; б)предположим, что "эталонная" кучка весит меньше, тогда фальшивая монета тяжелее и она снова легко определяется при помощи одного взвешивания.
Осталось рассмотреть случай, когда при первом взвешивании не устанавливается равновесие:
а) первая кучка весит больше второй (знак >:
из первой кучки откладываем в сторону 3 монеты; из второй кучки перекладываем в первую 3 монеты; а во вторую кучку кладём 3 эталонные монеты, тогда:
А) установилось равенство, следовательно, среди выложенных монет из первой кучки есть фальшивая, причём она тяжелее - путём одного взвешивания её легко определить;
Б)знак неравенства сохранился ( знак >, следовательно, фальшая монета та, которая осталась в первой кучке =после отбора монет (она осталась единственной "старой"
В) знак неравенства поменялся ( знак <, следовательно, фальшивая монета находится среди трёх переложенных из второй кучки в первую и эта монета лечге подлинной - монета легко определяется.
б) первая кучка весит меньше второй (знак <:
А) установилось равенство, следовательно, среди выложенных монет из первой кучки есть фальшивая, причём она легче - путём одного взвешивания её легко определить;
Б)знак неравенства изменился ( знак >, следовательно, фальшивая монета находится среди переложенных из второй кучки в первую и монета тяжелее - она легко определяется при помощи одного взвешивания.
В) знак неравенства сохранился ( знак <, следовательно, фальшивая монета - та единственная во второй кучке, что осталась там при перекладывание.
Искомая монета найдена - задача решена.
Ольчик, 2009-08-18
Николай,к вам вопрос: вы определили эталонные монеты в начале когда было условие что при первом взвешивании установилось равенство,а потом используете эталонные монеты при пояснении о случаях когда равновесие не наступает во время 1го взвешивания.А где вы тогда взяли эталонные монеты?Вы используете их,но тем самым себе противореча.
kastr0, 2009-08-22
Ребята я над этой задачей к данному моменту думаю три дня и пока точного решения не нашол, ответ пока не читал. Скажите только, возможно ли это из предложеного ответа при соблюдений всех условий задачи или нет?
Гога, 2009-08-27
Да, решение реальное
Любовь, 2009-10-11
Это решение настолько не реальное, кому придет в голову этот набор английских слов, а решается она чисто логически like, fake. Если кому интересно напишу, просто долго писать, хотя сами действия простые
К, 2010-01-10
А куда с сайта исчезла другая задача только с 12ю монетами? Я полтора дня думал как решить, даже взял 12 монеток =)) На 4й час размышлений решил, сразу пошел к брату объяснить ход решения...и не смог, забыл =))) сколько я потом не пытался вспомнить как решил, не смог. Возможно мне показалось, я и не решал. Короче, посмотрел ответ.
Сергей, 2010-02-18
Эту задачу невозмозно решить если с самого начала неивестно тяжелее или легче фальшивая монета. Т.к. в любом случае после 2 взвешиваний у нас остаётся несколько монет и за одно оставшееся взвешивание невозможно определьть какая фальшивая.
Цхинвал, 2010-03-12
Коля, молодец!
Решение по этому способу у тебя простое и понятное.
Есть еще одно решение.
Первые 12 монет обозначаются: 0123-4567-89АВ, а тринадцатая без обозначения.
Принцип взвешивания:
Необходимо взвесить три раза по 8 монет, причем каждая из 12 монет должна быть задействована два раза(3х8=24,12х2=24). Кроме того должен быть учтен принцип "магического прямоугольника", т.е. в кучке из 4 монет не должны быть монеты, которые уже взвешивались ранее вместе:
Например
а. 0123-4567
в. 8049-15АВ
с. 268А-379В
Я обозначу:
"==" - равновесие на весах
"<0" - слева легче
"0<" - справа легче
">0" - слева тяжелее
"0>" - справа тяжелее
Варианты:
1)Искомая монета №13(не обозначена буквой)если три взвешивания равновесны
2)Искомая монета "0"-
a)легче: <0,<0,==
б)тяжелее: >0,>0,==
3) Искомая монета 1
a)легче: <0,0<,==
б)тяжелее:>0,0<,==
По этому алгоритму определяем любую из промаркированных монет.
ПыСы. Возможно у "магического прямоугольника" есть варианты. Кто нить может найти???????????
Цхинвал, 2010-03-12
Прошу прощения за предыдущий пост. Свои вычисления я не доработал.
Есть замечательное решение 3-го порядка Алфутова Н.Б.
РЕШЕНИЕ
Во-первых, специальным образом пронумеруем монеты: присвоим им трехзначные номера 001, 010, 011, 012, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 220.
13-ой монете присвом номер 111 и не используем ее при взвешиваниях.
Для первого взвешивания положим на одну чашу весов те монеты, у которых старший разряд равен 0 (то есть 001, 010, 011, 012), а на другую - те монеты, у которых он равен 2 (200, 201, 202, 220). Если перетянет чашка с ``0'', запишем на бумажке цифру 0. Если перетянет ``2'' — запишем 2. Если чаши весов останутся в равновесии — запишем 1.
Для второго взвешивания на одну чашу выложим монеты 001, 200, 201, 202 (то есть все те монеты, у которых второй разряд равен 0), а на другую — 120, 121, 122, 220 (то есть те монеты, у которых средний разряд равен 2). Запишем результат взвешивания таким же образом, что и при первом взвешивании.
Третьим взвешиванием сравниваем 010, 020, 200, 220 с 012, 112, 122, 202 (соответственно, нули и двойки в младшем разряде) и записываем третью цифру.
Мы получили три цифры — иначе говоря, трехзначное число. Далее определяем фальшивую монету по следующему рецепту:
Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.
dead, 2010-07-06
Единственная неточность у Коли в случае, когда при первом взвешивании равновесие не устанавливается, а при втором - знак неравенства сохранился. В этом случае фальшивка - одна из ДВУХ оставшихся нетронутыми на каждой чашке. Но здесь мы так же легко определяем ее с помощью 3-го взвешивания и одной настоящей монеты. В остальном решение точь-в-точь как у меня.
Максим, 2010-09-11
Я решил эту задачу так.
1. Делим на 3 стопки по 4 монеты. Взвешываем первую и вторую. Если равны то фальшивая монета в третьей стопке и найти ее легко. Если они не равны, то фальшивая где-то среди них, а третья стопка - настоящие монеты.
2. После первого взвешивания на весах 8 монет - 4 слева и 4 справа. Они не равны. Предположим первая стопка (монеты 1,2,3,4) тяжелее второй (монеты 5,6,7,8). Берем монеты 1,2,3 и откладываем в сторону, затем берем монеты 5,6,7 и кладем их на место монет 1,2,3, а на место монет 5,6,7 кладем три 100% настоящие монеты, которые остались после первого взвешивания. Смотрим на результат: если все осталось без изменений (первая стопка тяжелее второй), то фальшивая среди монет 4 и 8. Если весы уравнялись, то фальшивая среди монет 1,2,3 и она тяжелее. Если чаши весов показывают наоборот, т.е. первая стопка легче, то фальшивая в монетах 5,6,7 и она легче.
3. Последним взвешиванием легко находим фальшивую.
И никакой математики.
valen, 2010-09-23
Уменя получается что задача решается либо в два взвешивания, либо в три. В любом случае можно узнать тяжелее она или легче
GirA, 2010-10-02
Фактически ответ явлеется неточным ибо присутвтвует 2 монетки E и I и если фальшивая монетка именно одна из них то результат 3х неравенств будет не однозначным(ни в одном не будет знака равно)
Йа, 2011-01-12
Я решил! Минут за 7 решил!
долго объяснять правда
Антон, 2011-01-25
У меня решение очень приближенно к решению Николая, но немного другое.
Может кто и поправит, может у меня не правильно.
Ложим на весы по 4 монетки.
В случае равеснтва - у меня алгоритм получился точно таким, как у Николая (прошу прощение за copy/paste, так будет быстрее и понятней)
"Фальшивая монета находится среди оставшихся пяти (и при этом у нас появилось 8 эталонных монет).
Теперь взвесим три эталонных монеты и три монеты из оставшейся кучки (из пяти монет): если установилось равенство, то фальшивая монета находится среди двух оставшихся и, имея одно взвешивание и эталонную монету, можно легко её найти; если равенство на весах нарушится: а)предположим "эталонная" кучка весит больше, следовательно, фальшивая монета легче настоящей и с помощью одного взвешивания можно (опять-таки) её найти; б)предположим, что "эталонная" кучка весит меньше, тогда фальшивая монета тяжелее и она снова легко определяется при помощи одного взвешивания."
В случае неравенства.
У нас есть по 4 монеты, одна из которых - фальшивая. А 5 монет - эталонных (точно не фальшивие)
1. Первая кучка больше второй (К1>К2)
Мы из первой кучки (К1) откладываем 1 монетку в сторону.
Из второй кучки (К2) мы берём 2 монетки и ложим в К1 (запоминая что это за монетки)
2 монетки, что остались из К2 мы тоже откладываем в сторону, запоминая что это 2 монетки из К2.
Берём 5 монет эталонных и ложим на весы в К2.
а) получилось равенство (=)
Значит все 5 монеток из К1 - не фальшивые. У нас осталось 3 монетки отложенными (одна с К1 и 2 с К2)
При третьем взвешывании мы просто берём 2 отложеные монетки с К2 и взвешиваем. Если равно, то оставшаяся третья монетка, что изначально была в К1 - фальшивая (>. Если не неравенство, то фальшивая монетка идна из этих двух. Но мы помним, что при первом взвешивании весы нам показали, что К1 > К2, и мы знаем, что изначально фальшивая монетка лежала в К2, то есть фальшивая монетка - легче обычной. И потому при третьем взвешивании та монетка, которая легче - фальшивая.
б) получилось обратно К1>К2.
Значит фальшивая монетка находится в К1 (она тяжелее). При чём те 2 монетки, котрые мы переложили после первого взвешивания - не фальшивые, так как весы не изменились. Потому фальшивая осталась из тех трёх первых в К1. Зная, что фальшивая тяжелее, и имея 3 монетки - мы легко определяем за последнее взвешивание какая из них фальшивая.
в) получилось наоборот К2>К1.
Значит из тех 2 монеток, которые мы переложили после первого взвешивания - одна фальшивая, при чём легче. За третий раз узнаём какая из них легче и всё =)
При случае что вторая кучка больше второй (К2>К1) - всё то же самое, только слова больше-меньше, тяжелее-легче нужно поменять местами.
Не думал, что у этой задачи есть столько много решений.
Честно говоря по поводу математического решения не уверен, не проверял. Может кто знает, правильно ли там всё? Работает? А то придётся много подставлять.
Захар, 2011-02-26
Решение для 12 монет. Делим монеты на 3 кучки по4:1234,5678,9 10 11 12.1Взвешивание 1234/5678,думаю если они равны,каждый сможет понять,как из 4 монет за 2 взвешивания определить фальшивую.Допустим первая кучка тяжелее,значит 1234-фальшивые-тяжелые или нормальные монеты,а 5678-нормальные или фальшивие- легкие.2Взвешивание 356/784.Если равные,то взвешиваем 1и2-которая тяжелее,та и фальшивая.Допустим 356 тяжелее,значит 5,6 и 4-не фальшивые монеты.Ну а теперь взвешиваем 7 и 8,которая легче та и фальшивая,если равные,то монета 3.Для 13 монет решение такое же.Разница лишь в том,что ели в 1 взвешивании кучки равны остается 5 монет.В этом случае берем из 5 три и взвешиваем с тремя нормальными,если они равны,берем 1 из 2 оставшихся и взвешиваем с правильной. Теперь допустим 3 монеты из 5 тяжелее,значит и фальшивая монета тяжелее.Тогда взвешиваем 2 из 3 монет-котораятяжелее,та и фальшивая.Если равны,то третья фальшивая.
Профессор, 2011-07-25
Решения нет, все варианты лишь мнимые
хыгоника сабы тий каргтавогао, 2011-10-08
Виталий, 2008-08-08
Не осилил!
Но ответ не верен!
Три взвешивания с тремя возможными результатами - всего 9 вариантов. Монет 12 - однозначно нельзя определить.
Гога, 2008-09-14
Я сделал. Думал неделю.Очень долго объяснять.
Ivaneo, 2008-10-13
Можно решить задачу и 3 взвешиваниями и при этом узнать легче фальшивая или нет.
Есть точно 2 способа решения задачи.
brox, 2009-04-11
Чудесная задача! Я знал принцип решения - то, что после первого взвешивания у нас появляются (как минимум) 4 точные гири, и что в идеале троичные весы при трех взвешиваниях дают 27 возможностей... Но то решение, которое приведено здесь, вообще жесть - не требует даже ручки и бумаги
Коля, 2009-08-07
Я предлагаю следующее решение (не исключаю той возможности, что могут быть допущены некоторые недочёты):
Взвесим две кучки по 4 монеты в каждой.
Пойдём от простого к сложному и предположим, что на весах установилось равенство, следовательно, фальшивая монета находится среди оставшихся пяти (и при этом у нас появилось 8 эталонных монет).
Теперь взвесим три эталонных монеты и три монеты из оставшейся кучки (из пяти монет): если установилось равенство, то фальшивая монета находится среди двух оставшихся и, имея одно взвешивание и эталонную монету, можно легко её найти; если равенство на весах нарушится: а)предположим "эталонная" кучка весит больше, следовательно, фальшивая монета легче настоящей и с помощью одного взвешивания можно (опять-таки) её найти; б)предположим, что "эталонная" кучка весит меньше, тогда фальшивая монета тяжелее и она снова легко определяется при помощи одного взвешивания.
Осталось рассмотреть случай, когда при первом взвешивании не устанавливается равновесие:
а) первая кучка весит больше второй (знак >:
из первой кучки откладываем в сторону 3 монеты; из второй кучки перекладываем в первую 3 монеты; а во вторую кучку кладём 3 эталонные монеты, тогда:
А) установилось равенство, следовательно, среди выложенных монет из первой кучки есть фальшивая, причём она тяжелее - путём одного взвешивания её легко определить;
Б)знак неравенства сохранился ( знак >, следовательно, фальшая монета та, которая осталась в первой кучке =после отбора монет (она осталась единственной "старой";
В) знак неравенства поменялся ( знак <, следовательно, фальшивая монета находится среди трёх переложенных из второй кучки в первую и эта монета лечге подлинной - монета легко определяется.
б) первая кучка весит меньше второй (знак <:
А) установилось равенство, следовательно, среди выложенных монет из первой кучки есть фальшивая, причём она легче - путём одного взвешивания её легко определить;
Б)знак неравенства изменился ( знак >, следовательно, фальшивая монета находится среди переложенных из второй кучки в первую и монета тяжелее - она легко определяется при помощи одного взвешивания.
В) знак неравенства сохранился ( знак <, следовательно, фальшивая монета - та единственная во второй кучке, что осталась там при перекладывание.
Искомая монета найдена - задача решена.
Ольчик, 2009-08-18
Николай,к вам вопрос: вы определили эталонные монеты в начале когда было условие что при первом взвешивании установилось равенство,а потом используете эталонные монеты при пояснении о случаях когда равновесие не наступает во время 1го взвешивания.А где вы тогда взяли эталонные монеты?Вы используете их,но тем самым себе противореча.
kastr0, 2009-08-22
Ребята я над этой задачей к данному моменту думаю три дня и пока точного решения не нашол, ответ пока не читал. Скажите только, возможно ли это из предложеного ответа при соблюдений всех условий задачи или нет?
Гога, 2009-08-27
Да, решение реальное
Любовь, 2009-10-11
Это решение настолько не реальное, кому придет в голову этот набор английских слов, а решается она чисто логически like, fake. Если кому интересно напишу, просто долго писать, хотя сами действия простые
К, 2010-01-10
А куда с сайта исчезла другая задача только с 12ю монетами? Я полтора дня думал как решить, даже взял 12 монеток =)) На 4й час размышлений решил, сразу пошел к брату объяснить ход решения...и не смог, забыл =))) сколько я потом не пытался вспомнить как решил, не смог. Возможно мне показалось, я и не решал. Короче, посмотрел ответ.
Сергей, 2010-02-18
Эту задачу невозмозно решить если с самого начала неивестно тяжелее или легче фальшивая монета. Т.к. в любом случае после 2 взвешиваний у нас остаётся несколько монет и за одно оставшееся взвешивание невозможно определьть какая фальшивая.
Цхинвал, 2010-03-12
Коля, молодец!
Решение по этому способу у тебя простое и понятное.
Есть еще одно решение.
Первые 12 монет обозначаются: 0123-4567-89АВ, а тринадцатая без обозначения.
Принцип взвешивания:
Необходимо взвесить три раза по 8 монет, причем каждая из 12 монет должна быть задействована два раза(3х8=24,12х2=24). Кроме того должен быть учтен принцип "магического прямоугольника", т.е. в кучке из 4 монет не должны быть монеты, которые уже взвешивались ранее вместе:
Например
а. 0123-4567
в. 8049-15АВ
с. 268А-379В
Я обозначу:
"==" - равновесие на весах
"<0" - слева легче
"0<" - справа легче
">0" - слева тяжелее
"0>" - справа тяжелее
Варианты:
1)Искомая монета №13(не обозначена буквой)если три взвешивания равновесны
2)Искомая монета "0"-
a)легче: <0,<0,==
б)тяжелее: >0,>0,==
3) Искомая монета 1
a)легче: <0,0<,==
б)тяжелее:>0,0<,==
По этому алгоритму определяем любую из промаркированных монет.
ПыСы. Возможно у "магического прямоугольника" есть варианты. Кто нить может найти???????????
Цхинвал, 2010-03-12
Прошу прощения за предыдущий пост. Свои вычисления я не доработал.
Есть замечательное решение 3-го порядка Алфутова Н.Б.
РЕШЕНИЕ
Во-первых, специальным образом пронумеруем монеты: присвоим им трехзначные номера 001, 010, 011, 012, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 220.
13-ой монете присвом номер 111 и не используем ее при взвешиваниях.
Для первого взвешивания положим на одну чашу весов те монеты, у которых старший разряд равен 0 (то есть 001, 010, 011, 012), а на другую - те монеты, у которых он равен 2 (200, 201, 202, 220). Если перетянет чашка с ``0'', запишем на бумажке цифру 0. Если перетянет ``2'' — запишем 2. Если чаши весов останутся в равновесии — запишем 1.
Для второго взвешивания на одну чашу выложим монеты 001, 200, 201, 202 (то есть все те монеты, у которых второй разряд равен 0), а на другую — 120, 121, 122, 220 (то есть те монеты, у которых средний разряд равен 2). Запишем результат взвешивания таким же образом, что и при первом взвешивании.
Третьим взвешиванием сравниваем 010, 020, 200, 220 с 012, 112, 122, 202 (соответственно, нули и двойки в младшем разряде) и записываем третью цифру.
Мы получили три цифры — иначе говоря, трехзначное число. Далее определяем фальшивую монету по следующему рецепту:
Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.
dead, 2010-07-06
Единственная неточность у Коли в случае, когда при первом взвешивании равновесие не устанавливается, а при втором - знак неравенства сохранился. В этом случае фальшивка - одна из ДВУХ оставшихся нетронутыми на каждой чашке. Но здесь мы так же легко определяем ее с помощью 3-го взвешивания и одной настоящей монеты. В остальном решение точь-в-точь как у меня.
Максим, 2010-09-11
Я решил эту задачу так.
1. Делим на 3 стопки по 4 монеты. Взвешываем первую и вторую. Если равны то фальшивая монета в третьей стопке и найти ее легко. Если они не равны, то фальшивая где-то среди них, а третья стопка - настоящие монеты.
2. После первого взвешивания на весах 8 монет - 4 слева и 4 справа. Они не равны. Предположим первая стопка (монеты 1,2,3,4) тяжелее второй (монеты 5,6,7,8). Берем монеты 1,2,3 и откладываем в сторону, затем берем монеты 5,6,7 и кладем их на место монет 1,2,3, а на место монет 5,6,7 кладем три 100% настоящие монеты, которые остались после первого взвешивания. Смотрим на результат: если все осталось без изменений (первая стопка тяжелее второй), то фальшивая среди монет 4 и 8. Если весы уравнялись, то фальшивая среди монет 1,2,3 и она тяжелее. Если чаши весов показывают наоборот, т.е. первая стопка легче, то фальшивая в монетах 5,6,7 и она легче.
3. Последним взвешиванием легко находим фальшивую.
И никакой математики.
valen, 2010-09-23
Уменя получается что задача решается либо в два взвешивания, либо в три. В любом случае можно узнать тяжелее она или легче
GirA, 2010-10-02
Фактически ответ явлеется неточным ибо присутвтвует 2 монетки E и I и если фальшивая монетка именно одна из них то результат 3х неравенств будет не однозначным(ни в одном не будет знака равно)
Йа, 2011-01-12
Я решил! Минут за 7 решил!
долго объяснять правда
Антон, 2011-01-25
У меня решение очень приближенно к решению Николая, но немного другое.
Может кто и поправит, может у меня не правильно.
Ложим на весы по 4 монетки.
В случае равеснтва - у меня алгоритм получился точно таким, как у Николая (прошу прощение за copy/paste, так будет быстрее и понятней)
"Фальшивая монета находится среди оставшихся пяти (и при этом у нас появилось 8 эталонных монет).
Теперь взвесим три эталонных монеты и три монеты из оставшейся кучки (из пяти монет): если установилось равенство, то фальшивая монета находится среди двух оставшихся и, имея одно взвешивание и эталонную монету, можно легко её найти; если равенство на весах нарушится: а)предположим "эталонная" кучка весит больше, следовательно, фальшивая монета легче настоящей и с помощью одного взвешивания можно (опять-таки) её найти; б)предположим, что "эталонная" кучка весит меньше, тогда фальшивая монета тяжелее и она снова легко определяется при помощи одного взвешивания."
В случае неравенства.
У нас есть по 4 монеты, одна из которых - фальшивая. А 5 монет - эталонных (точно не фальшивие)
1. Первая кучка больше второй (К1>К2)
Мы из первой кучки (К1) откладываем 1 монетку в сторону.
Из второй кучки (К2) мы берём 2 монетки и ложим в К1 (запоминая что это за монетки)
2 монетки, что остались из К2 мы тоже откладываем в сторону, запоминая что это 2 монетки из К2.
Берём 5 монет эталонных и ложим на весы в К2.
а) получилось равенство (=)
Значит все 5 монеток из К1 - не фальшивые. У нас осталось 3 монетки отложенными (одна с К1 и 2 с К2)
При третьем взвешывании мы просто берём 2 отложеные монетки с К2 и взвешиваем. Если равно, то оставшаяся третья монетка, что изначально была в К1 - фальшивая (>. Если не неравенство, то фальшивая монетка идна из этих двух. Но мы помним, что при первом взвешивании весы нам показали, что К1 > К2, и мы знаем, что изначально фальшивая монетка лежала в К2, то есть фальшивая монетка - легче обычной. И потому при третьем взвешивании та монетка, которая легче - фальшивая.
б) получилось обратно К1>К2.
Значит фальшивая монетка находится в К1 (она тяжелее). При чём те 2 монетки, котрые мы переложили после первого взвешивания - не фальшивые, так как весы не изменились. Потому фальшивая осталась из тех трёх первых в К1. Зная, что фальшивая тяжелее, и имея 3 монетки - мы легко определяем за последнее взвешивание какая из них фальшивая.
в) получилось наоборот К2>К1.
Значит из тех 2 монеток, которые мы переложили после первого взвешивания - одна фальшивая, при чём легче. За третий раз узнаём какая из них легче и всё =)
При случае что вторая кучка больше второй (К2>К1) - всё то же самое, только слова больше-меньше, тяжелее-легче нужно поменять местами.
Не думал, что у этой задачи есть столько много решений.
Честно говоря по поводу математического решения не уверен, не проверял. Может кто знает, правильно ли там всё? Работает? А то придётся много подставлять.
Захар, 2011-02-26
Решение для 12 монет. Делим монеты на 3 кучки по4:1234,5678,9 10 11 12.1Взвешивание 1234/5678,думаю если они равны,каждый сможет понять,как из 4 монет за 2 взвешивания определить фальшивую.Допустим первая кучка тяжелее,значит 1234-фальшивые-тяжелые или нормальные монеты,а 5678-нормальные или фальшивие- легкие.2Взвешивание 356/784.Если равные,то взвешиваем 1и2-которая тяжелее,та и фальшивая.Допустим 356 тяжелее,значит 5,6 и 4-не фальшивые монеты.Ну а теперь взвешиваем 7 и 8,которая легче та и фальшивая,если равные,то монета 3.Для 13 монет решение такое же.Разница лишь в том,что ели в 1 взвешивании кучки равны остается 5 монет.В этом случае берем из 5 три и взвешиваем с тремя нормальными,если они равны,берем 1 из 2 оставшихся и взвешиваем с правильной. Теперь допустим 3 монеты из 5 тяжелее,значит и фальшивая монета тяжелее.Тогда взвешиваем 2 из 3 монет-котораятяжелее,та и фальшивая.Если равны,то третья фальшивая.
Профессор, 2011-07-25
Решения нет, все варианты лишь мнимые
Константин, 2012-01-22
обозначить монеты 1-13
1 взвешивание: 1234 и 5678
если 1234=5678, то все монеты настоящие
2 взвешивание: 123 и 9 10 11
если 123=9 10 11
3 взвешивание: 1 и 12 -находим фальшивую 12 или 13
если 123 >/< 9 10 11
3 взвешивание: 9 и 10, находим отличную по весу, если равны, то фальшивая 11-я монета
если 1234>/<5678, запоминаем-какая кучка тяжелее (пусть будет 5678 тяжелее)
2 взвешивание: 12356 и 9 10 11 12 13 (настоящие), оставляем 4 7 8
3 взвешивание:
если 12356 отличается по весу- фальшивая монета среди них и в зависимости от того, легче или тяжелее эта кучка, взвешиваем:
1 и 2 (если равны-фальшифка 3-я), или 5 и 6
если 12356=9 10 11 12 13, то фальшивая 4 или 7 и 8. Взвесим 7 и 8, более тяжелая-фальшивка. Если равны, то фальшивая 4-я
Сан4еС, 2012-02-06
берем по 6.
при 6=6 1-фальш
при 6>6 --->
3>3 --->
1=1 фальш - оставшиеся,
1>1 вот и все....
Константин, 2012-02-27
6>6
в какой чаше фальшивая?
тоха, 2012-07-27
15 секунд,легкотня
Гость, 2013-04-15
Атличная задача. До сих пор понмю, как решал в девятом классе
А ведь двадцать лет уж прошло
S@нЯ, 2014-08-14
Легко! 1-6и6 2-3и3 3-1и1.
Дмитрий, 2016-06-08
Перед тем как прочитать ответ решил ее немного по другому. Когда со 100% вероятностью можно определить фальшивую монету.
Т. к. у нас есть правая и левая сторона от весов. То 13 монету мы например отложим по правую строну от весов. У нас останется 12 монет которые мы делим на две половины, т. е. по 6 монет на чашу (1 взвешивание). Если чаши в равновесии, то фальшивая монета уже на столе. Если же какая-то из чаш легче, то мы монеты оставляем на весах в этой же чаше, а со второй чаши снимаем их по левую сторону от весов. В одной из чаш осталось 6 монет. Делим их по 3 на каждую. Опять определяем какая из чаш легче (2 взвешивание). Три монеты которые тяжелее ложем к тем шести которые находятся с лева от весов. И тут самый интересный момент... Осталось одно взвешивание и три монеты. Поступаем следующим образом: одну из трех монет оставляем по центру весов на столе остальные две взвешиваем (3 взвешивание). Тут возможно два варианта:
1. чаши в равновесии - фальшивая по центру стола.
2 перевес одной из чаш - фальшивая на чаше которая оказалась вверху
Как-то и так...)