fortpost
|
|
« : Октябрь 26, 2016, 17:48:37 » |
|
4)((x^3)-2xy)dx-((x^2)-(e^-2y)dy=0
(x3-2xy)dx - (x2-e-2y)dy = 0
Это дифф. уравнение имеет вид: P(x,y) + Q(x,y) = 0, и называется дифф. уравнением в полных дифференциалах.
P(x,y) = x3 - 2xy Q(x,y) = -x2 + e-2y
∂P/∂y = -2x ∂Q/∂x = -2x
Условие ∂P/∂y ≡ ∂Q/∂x выполняется, следовательно, левая часть исходного дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0.
Так как (x3-2xy)dx - (x2-e-2y)dy есть полный дифференциал функции U(x, y) = 0 , то
∂U/∂x = x3 - 2xy ∂U/∂y = -x2 + e-2y
Интегрируем по x первое уравнение системы
U(x,y) = ∫(x3 - 2xy)dx + φ(y) = x4/4 - x2y + φ(y)
и дифференцируем по y полученный результат
∂U/∂y = -x2 + φ'y(y)
С другой стороны, из второго уравнения системы имеем ∂U/∂y = -x2 + e-2y
Следовательно,
-x2 + e-2y = -x2 + φ'y(y) φ'y(y) = e-2y → φ(y) = ∫e-2ydy = -e-2y/2 + C
Таким образом,
U(x,y) = x4/4 - x2y - e-2y/2 + C
и общим интегралом исходного уравнения является
x4/4 - x2y - e-2y/2 + C = 0
|