Новогодние подарки
Дед Мороз пиобрёл в магазине 2 подарка плюс половину оставшихся подарков. Второй Дед Мороз приобрёл три подарка плюс треть оставшихся подарков. Третий Дед Мороз приобрёл четыре подарка плюс четвёртую часть оставшихся подарков. И так далее пока есть возможность продолжать без деления подарков на составные части.
Сколько Дедов Морозов уйдут с подарками?
Сколько Дедов Морозов уйдут с подарками?
Ответ
Рейтинг: : 4 Деда Мороза могут уйти с подарками.
Не имеется такого начального числа подарков, которые позволят в соответствии с условием пятому Деду Морозу забрать 6 подарков и ещё шестую часть оставшихся.
Не имеется такого начального числа подарков, которые позволят в соответствии с условием пятому Деду Морозу забрать 6 подарков и ещё шестую часть оставшихся.
+16
Комментарии:
sfsafd, 2011-10-05
1 дед мороз 2+(х-2/2)=2+х/2
2 дед мороз 3+х-(2+х/2)-3=x-2/2
3 дед мороз 4+х-(2+х/2)-(x-2/2)-4=x
5 нету больше подарков
Boulchere, 2012-06-13
Рейтинг у этой задачи на данный момент - 0.И откуда столько дедов морозов?Смотрите по телевизору "Следствие вели...с Леонидом каневским",выпуск №68 "Банда красный нос"
Стасян, 2014-04-07
ответ не обоснован
Денис, 2019-05-06
Согласен со Стасяном: ответ не обоснован. При этом ответ правильный. Правда, с моей точки зрения у этой задачи есть ещё один ответ. Привожу моё решение задачи с подробными объяснениями.
Пусть n - порядковый номер Деда Мороза. Число подарков в магазине на момент прихода этого Деда Мороза обозначим Xn. Тогда n-й Дед Мороз приобрёл следующее число подарков:
(n+1) + (Xn - (n+1)) / (n+1) = n + Xn / (n+1)
Обозначим первоначальное число подарков в магазине просто X.
1) 1-й Дед Мороз приобрёл следующее число подарков:
1 + X/2
По условию задачи, подарки не делятся на части. Поэтому число X должно нацело делиться на 2.
После ухода 1-го Деда Мороза в магазине осталось следующее число подарков:
X - (1 + X/2) = X/2 - 1
Отсюда также следует, что X должен делиться на 2.
2) 2-й Дед Мороз приобрёл следующее число подарков:
2 + (X/2 - 1) / 3 = X/6 + (1+2/3)
Получается, что X/6 + 2/3 должно быть целым числом. Приводим дроби в этом выражении к общему знаменателю:
X/6 + 4/6
Следовательно при делении X на 6 должен получаться остаток 2. Здесь и далее я буду обозначать остаток от деления с помощью mod. В данном случае: X mod 6 = 2.
В магазине после 2-го Деда Мороза осталось следующее число подарков:
X/2 - 1 - (X/6 + (1+2/3)) = X/3 - (2+2/3)
Следовательно X mod 3 = 2.
3) 3-й Дед Мороз приобрёл подарков:
3 + (X/3 - (2+2/3)) / 4 = X/12 + (2+1/3)
Приводим дроби к общему знаменателю:
X/12 + 1/3 = X/12 + 4/12
Следовательно X mod 12 = 8.
Осталось подарков:
X/3 - (2+2/3) - (X/12 + (2+1/3)) = X/4 - 5
Следовательно X делится на 4.
4) 4-й Дед Мороз приобрёл подарков:
4 + (X/4 - 5) / 5 = X/20 + 3
Следовательно X делится на 20.
Осталось подарков:
X/4 - 5 - (X/20 + 3) = X/5 - 8
Следовательно X делится на 5.
5) 5-й Дед Мороз приобрёл подарков:
5 + (X/5 - 8) / 6 = X/30 + (3+2/3)
Приводим дроби к общему знаменателю:
X/30 + 2/3 = X/30 + 20/30
Следовательно X mod 30 = 10.
Осталось подарков:
X/5 - 8 - (X/30 + (3+2/3)) = X/6 - (11+2/3)
Приводим дроби к общему знаменателю:
X/6 - 2/3 = X/6 -4/6
Следовательно X mod = 4. Однако, согласно пункту 2 выше, X mod 6 = 2. Получаем противоречие.
Таким образом, 5-й Дед Мороз не возможен. То есть Дедов Морозов было максимум 4.
Проверим, могло ли быть их 4.
Выпишем все полученные выше условия:
1) X делится на 2.
2.1) X mod 6 = 2.
2.2) X mod 3 = 2.
3.1) X mod 12 = 8.
3.2) X делится на 4.
4.1) X делится на 20.
4.2) X делится на 5.
Данный набор условий можно упростить.
Из всех условий про деление нацело можно оставить только 4.1: X делится 20. При выполнении этого условия остальные условия -делимость X на 2, 4 и 5 - удовлетворяются автоматически.
Из условий про деление с остатком тоже можно оставить только одно - 3.1: X mod 12 = 8. Остальные условия про остаток удовлетворяются автоматически. Доказательство этого я приводить не буду. Можете это доказать сами. Либо, если вам лень, то просто не убирайте эти условия. Проверьте сами, удовлетворяет ли им ответ, который я получу ниже.
Возьмём 20, как наименьшее возможное число подарков, делящееся на 20. Легко проверить, что X = 20 удовлетворяет условию 3.1: X mod 12 = 8. Посчитаем, сколько подарков оставалось после каждого Деда Мороза. Окажется, что после 3-го Деда Мороза подарков не осталось совсем: X/4 - 5 = 20/4 - 5 = 0. Т.е. если подарков изначально было 20, то Дедов Морозов было 3.
Попробуем числа больше 20. Можно просто последовательно перебирать числа 40, 60, 80 и т.д. и смотреть, удовлетворяют ли они условию 3.1: X mod 12 = 8.
А можно найти подходящее число по-другому. Наименьшее общее кратное для 20 и 12 - это 60. Таким образом, любое число вида X = 20 + 60*[произвольное целое число] будет, так же как и 20, удовлетворять обоим условиям: делимость на 20 и X mod 12 = 8. Минимальное такое число большее 20 - это 80. Проверка показывает, что в этом случае после каждого из четырёх Дедов Морозов в магазине будет оставаться неотрицательное число подарков.
Итак, ответ: 3 или 4 Деда Мороза. В задаче не требуется найти максимально возможное число Дедов Морозов. А оба числа - и 3, и 4 - удовлетворяют всем условиям задачи. Если изначально подарков в магазине было 20, то только 3 Деда Мороза смогли уйти с подарками. Если же подарков было больше, то 4 Деда Мороза ушли с подарками.