Неутомимый червяк
Имеется резиновый жгут длиной 1м. По жгуту со скоростью 1см/мин ползет червяк. Свой путь он начинает с одного конца жгута. По истечении каждой минуты жгут растягивается и его длина возрастает на один метр. Понятно, что растяжение происходит равномерно по всей длине жгута. Возникает вопрос: доползет ли когда-нибудь червяк до конца жгута? При этом считаем нашего червяка бессмертным и неутомимым.
Ответ
Рейтинг: :
В первую минуту червяк проползет 1/100 часть жгута, во вторую минуту - 1/200, в третью - 1/300 и т.д. Итак, за n минут он проползет 1/100*(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ) часть жгута. Находящаяся в скобках сумма является гармоническим рядом, про который известно, что его сумма может быть сколь угодно большой. Таким образом, при достаточно большом n путь, пройденный червяком, как это ни удивительно, станет больше соответствующей длины жгута.
Если вам все еще это кажется невероятном, то вот вам подсказка: жгут растягивается не только перед червяком, но и после него!
В первую минуту червяк проползет 1/100 часть жгута, во вторую минуту - 1/200, в третью - 1/300 и т.д. Итак, за n минут он проползет 1/100*(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ) часть жгута. Находящаяся в скобках сумма является гармоническим рядом, про который известно, что его сумма может быть сколь угодно большой. Таким образом, при достаточно большом n путь, пройденный червяком, как это ни удивительно, станет больше соответствующей длины жгута.
Если вам все еще это кажется невероятном, то вот вам подсказка: жгут растягивается не только перед червяком, но и после него!
+79
Комментарии:
Игорь , 2008-08-09
Конечно нет. Так как через минуту червяк проползет 1см, в то время как жгут растянится до 2м, через 2мин червяк проползет 2см, а жгут уже будет иметь длину 3м, и так далее. Растяжение той части жгута, которую червяк уже прополз можно не учитовать.
Саша, 2008-08-10
Задача очень просто решается логически.
Сколько бы не растягивался жгут, относительное положение червяка(процент пройденной трассы) не меняется. Поэтому двигаясь вперед своим ходом, он с каждой минутой сокращает этот процент. В этом легко убедиться.
1 мин: ч(1 см) ж(100) 1%
2 мин: ч(3 см) ж(200) 1.5%
3 мин: ч(5.5 ) ж(300) 1.83%
4 мин: ч(8.3 ) ж(400) 2.083%
...
BENDERivec, 2008-08-12
Не достигнет. Даже если брать,что червяк проползает 99см/мин все равно всегда будет существовать расстояние больше 1м,которое червяк никогда не проползет.
А предложенное решение - софистика, аналогично задачи про бегуна и черепаху у которой есть фора.
BodyLove, 2008-10-16
по комменту Саши - масса противоречий:
если бы это было так как написано у Саши (Сколько бы не растягивался жгут, относительное положение червяка(процент пройденной трассы) не меняется) то сокращения расстояния не было бы.
но он в цифрах описал все таки сокращение в процентах чем и противоречит сам себе.
цифры не верны.
вот верные:
минуты за червяком до конца жгута
1 2 198
2 6 394
3 14 786
4 30 1 570
5 62 3 138
6 126 6 274
7 254 12 546
теперь обратим внимание на главные цифры!!!
с 8 минуты прирост жгута перед червяком в каждую минуту - 200%, при этом прирост пройденного расстояния с 11 минуты каждую минуту - 100% и если это все усилить данными о росте жгута (1м в минуту) и скоростью червяка (1см в минуту) абсолютно точно понимаем что гораздо скорее жгут заполнит все пространство земли/вселенной либо любого иного измерения нежели червяк доберется хотя бы до его середины о какой середине речь
3%й рубеж дистанции он не преодолеет за это время. на 103 минуте длина жгута перед червем 97,3 * 10 в степени 31. при этом он все еще прошел только 2 % пути, пусть это и составляет 2,0 * 10 в степени 31.
прирост его 1 см личного вклада в рост становится иными словами ничтожно мал в сравнении с ростом жгута как перед ним так и после него и червяк остается на пройденном уровне примерно в 2%.
мой ответ: если червяк бессмертный и неутомимый значит жгут такой же, но пространство ограничено и значит не доползет.
регина, 2008-11-11
бедный червячок!
регина, 2008-11-11
где же они такого бессмертного нашли?!
снусмумрик, 2008-11-27
Решала, как оказалось, совершенно идентично с Сашей. Процент проползенного пути медленно, но верно увеличивается, а непроползенного пути соответственно сокращается. Наш червячок таки доползет до конца жгута рано или поздно! Игорь не прав. Растяжение той части жгута, которую червяк уже прополз, нужно учитывать, так как растяжение происходит по всей длине жгута, а не только там, где червяк еще не прополз!
сем, 2008-12-14
доползёт. заеб-ся жгут тянуть.
ANDreWS, 2009-01-30
Бессмертные червячки бывают только в WORMS2
Сергей К, 2009-02-14
Мои рассуждения начинались как и у Саши.
в 1 мин он прошел 1% пути
во 2 мин 1,5% пути
в 3 мин 1,83333% пути
тут я задумался - что-то мне напоминают эти числа. и действительно:
1 мин: 1/1 =1% пути
2 мин: 1/1+ 1/2 =1,5% пути
3 мин: 1/1+ 1/2 +1/3 =1,833(3)% пути
решение задачи отходит от праздных рассуждений "если вдруг и т.п.", но приходит к обычному гармоническому ряду:
1/1 +1/2 +1/3 +1/4 +1/5 +1/n,где n - минута очередного продвижения червяка.
для общего развития: "Гармонический ряд расходится очень медленно, для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10^43 элементов ряда."
вывод - доползет.. хотя вселенная состарится быстрее
lepra, 2009-07-28
Конкретно нужно чуть больше, чем exp(100-C) минут, где С-постоянная Эйлера, равная
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…
znatok, 2009-08-06
Переформулируем задачу жгут длиной 1 м, червячок проползает как 1 м - жгут растягивается на 1 м, то есть как доходит до конца жгута - жгут растягивается. То есть до конца никогда не дойдёт. Если учесть, что жгут растягивается равномерно (об этом не сказано в задаче), то пройдя 1 м, шнур с его стороны увеличится на 0,5 м, то есть уже достигнет конца.
илья, 2009-10-01
Znatok читай условие внимательнее.
Max ID, 2009-11-18
Я рассуждал следующим образом.
1. Длина жгута = 1 м. Червяк в положении 0.6м от начала
жгута - это 0.6/1 = 60% от общей длины.
2. Длина жгута = 1+1 = 2 м. Червяк все еще на 60% от начала - ведь жгут растягивается равномерно! - от начала жгута. Это будет 2*0.6 = 1.2м от начала. Червяк проползает 60 см - это 1.2+0.6 = 1.8 м (1.8/2 = 90% от длины жгута).
3. Длина жгута 2+1 = 3м. Червяк был на 90% от длины жгута - это 3*0.9 = 2.7 м. Червяк проползает еще 30 см. - он дополз!
Рассуждения сделаны из допущения, что жгут растягивается рывками, после каждой минуты.
Max ID, 2009-11-18
Естественно, червяк не ползет 1см/сек, как я указал постом выше, а 1см/мин, но все равно принцип остается прежним - процент пути, пройденного червяком, неудержимо растет (как было показано), и кагда-нибуть превысит длину жгута.
Samir, 2009-12-31
мне нужен такой жгут
iama, 2010-08-06
хрена. то, что процент увеличивается, ещё ничего не значит
fan червяка, 2011-03-30
Червяк доползет полюбому. прошел он 1 см так жгут вырос на 1м следовательно ему остается пройти 198см потому, что жгут растягивается не только перед червяком, но и после него! 1*2=2см дальше 2 см 2 м следовательно пройденный им путь 2 см удвоевается 2+1=3см и так далее
Червяк, 2011-06-04
Я стопроцентно доползу через 100500 в степени 1000000000005000000000 минут! Если не верите, заползите, тьфу ты, загляните в ответ.
ЗЫ
Где мои 100500 в степени 1000000000005000000000 долларов, автор?
выпускник фбт 2011, 2011-10-05
Как ни странно, но почему-то подавляющее большинство увидела здесь гармонический ряд...ошибка конечно же и в ответе:
После 1й минуты червяк прополз 0,01м из 2х метров (жгут же тоже удлинился!!), а это никак не 1% как написано в ответе - это 0,5%.
Аналогично после 2й минуты он прополз 0,02м из 3х метров, ну и тд.
Соответственно на n-ой минуте червяк прополз 0,01n из (n+1) метров жгута.
Выходит имеем ряд 1/2 +
, где под знаком суммы стоит выражение "0,01n/(n+1)"
выпускник фбт, 2011-10-05
Выходит имеем ряд 0,01/2 + 0,02/3 + 0,03/4 + 0,04/5 + 0,05/6 +...+ 0,01n/(n+1) который уж никак не гармонический.
Необходимый (!) признак сходимости ряда: когда предел его общего члена стремится к 0 при n стремится к бесконечности
У нас выходит так:
lim(0,01n/(n+1))=lim(0,01+0,01n)=бесконечность, т.к n стремится к бесконечности.
Т.к. предел не равен нулю, значит данный ряд расходится
Следовательно червяк никогда не достигнет края
Убедительно прошу администрацию подправить ответ или указать на ошибку в моем расчете
Игорь, 2011-12-06
выпускник фбт. Вы забыли про пропорции. Жгут равномерно растягивается по всей своей длине. Говоря проще, после того как червь проползёт 1 см, расстояние до финиша увеличится на 99 (становится 198), позади червя будет жгут длиною в 2 см. Далее проползает см (сейчас расстояние до финиша 197, позади 3 см), жгут увеличивается на метр, в итоге расстояние до финиша увеличивается на 98,5, в то время как расстояние позади червя на 1,5. И так далее. Чем больше червь будет ползти, тем меньше будет увеличиваться расстояние до финиша
Александр, 2012-01-27
5049мин.
все просто:
1ая минута:
черяк прополз 1 см, перед ним 99см, сзади - 1см. Жгут растянулся - перед ним 99+99, сзади 1+1;
2ая минута:
червяк прополз еще 1 см, жгут растянулся, перед ним 99+99+98, сзади 1+1+2.
3ья:
червяк прополз, жгут растянулся - перед ним 99+99+98+97, сзади 1+1+2+3(сзади не так важно)
4ая: пополз, растянулся - перед 99+99+98+97+96.... и т.д. до 100минуты.
это обычная ариф. прогрессия. Узнаем ее сумму с 1 по 100 член прогрессии (школьная программа) - 5050, но так как червяк вначле прошел 1см, а потом жгут растянулся, то первый член прогрессии не 100, а 99. Итого 5050-1=5049мин
serega, 2012-02-05
он никогда не доползет до конца джгута
serega , 2012-02-05
я сам сначала думал по другому, соизмерял сколько процентов до конца джгута или от начала. но просто нарисовав джгут и отмечая на нем червяка каждую минуту я понял что растояние до середині джгута только увеличівается.
чтобі червяк смог доползти до конца джгута ему нужно за одну минуту преодолевать больше четверти джгута
Slava, 2012-04-17
решжние:
N=exp(C+L/v*t)
C-постоянная Эйлера-Маскерони
t= время которое ползет червяк по нерастягивающемуся жгуту.
Итого T=N*t(min)=exp(C+100)~10^43
Kappa, 2012-12-14
Отличная загадка)
ламарка, 2013-05-05
да доползёт жгут то расстягивается по всей длине
Саша, 2014-12-24
Блин,у мя дополз только растояние которое проползал червяк каждую минуту увеличиволось с прогрессией в 2 миллиметра пример (2,2мм раз минута 2 минута 2,4, 2,6, 2,8) с такой скоростью думал что он скоро полетит.
Валентина Петровна Точилина, 2016-07-20
Конечно