|
Название: НОД и НОК Отправлено: Um_nik от Май 06, 2011, 20:16:42 Решить в натуральных числах (собсно, в других эти выражения смысла не имеют))):
НОД(x,y)+НОК(x,y)=xy/5 Название: Re: НОД и НОК Отправлено: VVV от Май 06, 2011, 20:47:58 (10,10), (6,30), (30,6).
Название: Re: НОД и НОК Отправлено: Um_nik от Май 07, 2011, 04:54:57 Ну это-то да, а решение?
Название: Re: НОД и НОК Отправлено: Sirion от Май 07, 2011, 09:25:34 Введём обозначения: xy = a, НОД(x,y) =b
произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел домножим обе части уравнения на НОД, воспользуемся этим свойством, получим: a^2-b/5*a+b=0, станем решать относительно a: D=(b^2)/25-4b=d^2 - полный квадрат, ибо всё в целых числах при этом (b^2)/25-4b+100=(b/5-10)^2=r^2 - также полный квадрат отсюда 100=r^2-d^2=(r-d)(r+d) в целых неотрицательных числах два решения: 1) r=26, d=24, отсюда b=180 и a=(36+-24)/2, a_1=30 (не подходит, тогда квадрат НОДа окажется больше произведения чисел), a_2=6 (откуда очевидно, что {x,y}={6,30}) 2) r=10, d=0, b=100, a=10, откуда (x,y)=(10,10) годная задача, я доволен Название: Re: НОД и НОК Отправлено: moonlight от Май 07, 2011, 18:03:50 мне кажется можно решить проще:
x=pr, y=qr, r=НОД(x,y) НОК(x,y)=pqr r+pqr=pqr^2/5 1+pq=pqr/5 1=pq(r/5-1) или p=1, q=1, r=10 или p=1, q=5(или наоборот), r=6 Название: Re: НОД и НОК Отправлено: Sirion от Май 07, 2011, 19:25:32 Таки я знаю. Просто с утра был похмелен, потому решал per rectum.
|