Форум умных людей

Однажды профессор Гений Мудрейший решил поджарить себе на ужин пельмени. Он достал сковородку, открыл  пачку пельменей и вдруг задумался над вопросом: сколько пельменей он может разместить на сковородке. Измерив размеры сковородки и пельменей, профессор пришел к выводу, что пельмени имеют вид полукруга, диаметр которого в 4 раза меньше диаметра сковородки. Какое наибольшее количество пельменей профессор может разместить на сковородке без перекрытия?

Сорри за оффтоп.
Прошу писать ответы под спойлер. Вечером приду домой и подумаю.

Влад пожарил Показать скрытый текст штук

Vlad, покажи! Профессору не удалось уложить столько пельменей. Может ты откроешь новое направление в укладке пельменей.

  у профессора ответ - другой, но развитие задачи приветствуется, требуется доказать  :yesgirl:

Так рисовать лень)), а вычислений не имею((
Показать скрытый текст

Ну, рисовать лень, а посчитать- то все равно надо. А то наваляли, как попало пельмени и ждете.....пятерку. Не доказано.

 :)
 :roll:
не как попало, а тщательно, сторонка к сторонке))

Вот и посчитайте, сколько - длина сторонок, как там с радиусами, диаметрами. И даже не выпрашивай оценку. Сказала: не доказано.

мне оценка не нужна, самооценка в норме))
Стороны и радиусы вроде считала, все укладывалось :-\

так, сядьте за парту и все аккуратно распишите, а то вроде считали, вроде сходилось... Бляхамуха, из класса выгоню, последнее предупреждение.

А чо пельмени та, судя по размеру это манты или позы, один хрен и то и другое и третье на сковородке не готовят  :sing:
А-А-А-а я понял это чебуреки, без перекрытия на глаз влезает только Показать скрытый текст - пока, надо ещё попробавать на моск.

на манты они , и правда,  похожи, но ответ - неверный

может так? красиво. все ж))
Показать скрытый текст

Ещё раз повторяю: не надо как попало валять пельмени на сковородку, даже , если вам и кажется, что это красиво. Задача сводится к размещению без перекрытия одинаковых полукругов внутри круга с диаметром в 4 раза большим. Решаем.

а а где у меня перекрылось?

На первый прикид, чтобы просто изначально задать хоть какую-то планку
(4*4) дважды т.е. 32 ну и как минимум 4х4 со сдвигом на 45о = итого выходит 48 штук.
Интуитивно в каждый сектор ещё по штучке влезет, а то и по паре т.е. по любому за 50 заползти можно.
Пока думаю морочаться с вариантом раскладывания типа лепестков по кругу рано ????

32-максимум по расчетам без пробелов. Форма у пельменей полукруглая. Не понимаю, почему 22 не проходят?

 :D >:( ;D

24 точно можно. Эх опередили…

Походу мои 48 накрылись - думал то по 4 круга в 4 стороны С-Ю-В-З, а потом все напополам, но видно не суждено - если круги впритык одной стороной к центру сковороды то будут перекрываться  :girlcry: А если один в центре то до края лезут только по 3 круга, НО даже в этом случае после деления их пополам наберется итого 24 хуньтуня.
Видать на этой Соросовской олимпиаде дюже жестко отнеслись к условию, топикстартер немного его смягчил - в аутентичном варианте звучит не только перекрытие, но и запрещение жесткого касания.
Правда ХЗчто имеется в виду, но если они сами не знают как разместить 25 то видать касание +-0

Вы меня расстроили, можно, конечно погуглить  и найти задачу с решением, но сразу кидать ответ в тему – это не уважать тех, кому нравится работать головой и ,возможно, они были близки к решению. А, также, существует понятие спортивный интерес, иначе все разделы с задачами можно было  назвать «Гуглим все!». :yesgirl:

Димыч, Ваш ответ верный , я не сомневаюсь, что и решение есть. Очень сожалею, что тема так быстро прервалась.
P.S.  Как процитировано выше: авторы приветствуют развитие этой темы и готовы оценить его.  :yesgirl:

Возможно, да только для себя математического доказательста размещениябольше 25 пока не вижу, имхо кто имел дело с фракталами тому и карты в руки. Со своей стороны интуитивно уверен, что смогу засунуть более 30. Пока дело тормозится только на выборе софта для ваяния сего - лучше всего былоб найти старенький MW Visio - 95, а удобнее всего для прикидки Adobe Illustrator, но в нем с размерами швах 1/4 не на экране же мерить линейкой.
По крайней мере думаю если размещать какбэ цветочком от центра переходящим в спираль должно влезть много или по крайней мере после первого кольца уже будет видно чего ожидать.

Так , авторы задачи и 25 не разместили! Может Ваш подход окажется верным   :yesgirl:

24 получится и без жесткого касания. Димыч, вы как их размещали? Я в первом круге  диаметром=2Х от центра лепестками в наклон 6 штук и  во втором слое так же лепестками18 шт
Расчет количества пельменей производила по этой формуле:
(http://www-formula.ru/images/geometry/formula/r_mnogougol3_f.png), где
r-радиус окружности
a - сторона многоугольника
N - количество сторон многоугольника

У меня другой подход. По диаметру 4 круга, впритык по 3 с каждой стороны и еще впритык к ним по 2 пельменя с каждой стороны. Если эти последние 4 повернуть, можно все раздвинуть, чтобы они не касались.

У Димыча - авторский ответ,  про тебя думать надо. :yesgirl:

:good: :good2: :good3: Сенькс за кружки и полукружки  :show_heart:
А то оказалось Вин-10 МСВизио-2007 корректно принимать не желает :girlcry:
Жалко глобальная холява обломилась - Мандельброд на тему полукругов ни :censored: не сваял  :girlcry:

 :read: :read: :read:
http://stu.sernam.ru/book_plane.php?id=23
Ну и ещё насчет плотной упаковки уже поближе к телу
http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html

;D

Нет уже что показывать
Влад все пельмешки съел
13 в субботу
13 в воскресенье
 :eat: :pig:  :crazy:

Тмин, ты что прикалывашься?, - где ты там увидела "как попало"?
не смотря на то что эт не точный чертёж с координатами точек, или уравнениями,
но идея хорошая.

И полукруги там не перекрываются!

LOL!

а что значит LOL! ? ???

Laughing Out Loud :bravo:  :laugh:

Вот именно. что  не точный чертёж с координатами точек, или уравнениями, ты уверен, что так они войдут на эту сковородку. :yesgirl:
ЗЫ. По-моему, ты прикалываешься, почему 26, а не 28 или 32. Обосновать надо.

УВЕРЕН!

Тмин, ты знакома с таким понятием как CAD?

Тмин, в чём состоит суть доказательства того, что в окружность с диаметром, скажем, 10000 помещается 26 полуокружностей, каждая с диаметром 2500?
Ты можешь сказать как бы ты доказывала?

Vlad!  А ,если я не знаю CAD, меня оставят в живых?  :girlcry:

Многоугольничек построила бы по кругу, посчитала бы диаметры, радиусы, хордочки. М.б. и получилось. :yesgirl:

То есть ты знакома с Пэйтом (максимум с Фотошопом)?
я не говорил о корне из 3/2
Это поставила задачу ка "вычислите", а потом спросила о доказательстве
Так же и щас: "накидайте пельмени в сковородку", а дальше "А докажите!"

какой многоугольничек?
А зачем диаметры считать если они все равны 2500?

Я вижу это так:
- каждую окружность можно задать, указав радиус (допустим 1250мм. ровно) и точку на Евклидовой плоскости, которая является центром (допустим в точности (3749;0))
- выделить из неё половину можно, указав точный угол наклона диаметра (допустим 37,233^o - это не приближение, а ровно 37233 тысячных градуса)

это эквивалентно системе
{ (x-x₀)²+(y-y₀)²<=R²
{ y<=k*x+b

если ты поняла о чём я, то скажи "да",
если ты с этим согласна, то скажи "да",
 и пойдём дальше...

Тмин, а-уууу!
Меня время поджимает!

Так, ты и не вычислил, вообще. Просто картинку бросил. Я так понимаю, двигал хорду пока не вписалась. И с пельменями также. Если работаем с программами, то в раздел "Программирование" (кстати, мне никто и не помог), а если с задачами, то это раздел другой, работаем головой.
 :yesgirl:

Ты, вообще-то, о какой задаче? Мне не нравятся твои предположения: допустим то. допустим сё.Продолжай, я почитаю  :yesgirl:

Что не вычислил?
Если ты о задаче с этим корнем, то, насколько помню, запостил ведь что будет столько-то троек, а после 2380...
А ты расскажи, поделись!  :crazy:

эт не мои предположения
просто пытаюсь выяснить, знакома ли ты с тем как чертить окружности, прямые, и как проверять пересекаются эти ли линии, путём решения систем.
 

короче, мне пора :bye:
завтра поговорим

del

Возможно не получится! :yesgirl:

Путем решения систем не знакома, но не переживаю. Есть  и другие пути,  не менее интересные.

Э-э-э, матушка  :ogo: Яки Вам формулы треба, це ж зовсим другый предмет  :ass:
"Комбинаторная геометрия" И.М.Яглом. - не на 100% но думаю, что-нить похожее там будет, а вот с формулами в таком напряженка.  :wall:
 :ideagirl: :ideagirl: :ideagirl:
Просто похожее если интересно, но уже не пельмени, а практический интерес
http://forum.ascon.ru/index.php?topic=25710.0

Если бы вы все не знали  ответ, то так бы и рисовали - кто 26, кто 22, кто 32, а кто-то 50. И это было бы красиво. Не понимаю, о чем спор? Условие четкое, решение - возможно, Димыч решил.  Если есть другие варианты, объясните.:yesgirl:

жАЛКО кОМПАСА НЕТ, А БУРЖУЙСКИЙ АВТОКАД ТАКОГО НЕ УМЕЕТ, ВИДИМО ИЗЛИШНЕ.

И так, с чего начнём…
…предлагаю с нуля ;)

какие, к примеру?

del   :drink:

Рассмотрим окружность x²+y²=5000² (её центр в начале координат О(0;0), а радиус R=5000).

Внутри неё рассмотрим окружность (x-3749)²+y²=1250² (её центр на оси Ox О₁(3749;0), а радиус r=5000/4=1250). Диаметр малой окружности проведём под углом 37,233^о, и выделим из неё тот полукруг, который ниже диаметра (обозначим его #1).

Также, внутри неё рассмотрим окружность (x-3924)²+(y-134)²=1250² (её центр точка О₂(3924;134), а радиус r=5000/4=1250). Диаметр этой окружности проведём под тем же углом 37,233^о, и выделим из неё тот полукруг, который выше диаметра (обозначим его #2).

Рис-1: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/164e4/r8mvNHnVXHs.jpg)

На этом принтскрине сразу в глаза бросаются участки возможного пересечения ( проблематичные точки), которые выделены красным. Покажем, что нет никаких пересечений (и даже касаний):

1.Расстояние от ценра большой окружности О(0;0) до наиболее отдалённой точки фигуры  #1 равно 3749+1250=4999, а значит вся она находится внутри

del

2.Пересекаются ли фигуры #1 и #2, или нет, можно выяснить оценив разность b₂-b₁, где b₂ и b₁ – из уравнений 2-х параллельных прямых, проходящих через диметры 2 и 1.
y=tg(37.233^о)*x+b₁ – уравнение 1-й
y=tg(37.233^о)*x+b₂ – уравнение 2-й
Первая проходит через точку О₁(3749;0), а значит 0=tg(37.233^о)*3749+b₁
b₁=-tg(37.233^о)*3749
Вторая проходит через точку О₂ (3924;134), а значит 134=tg(37.233^о)*3924+b₂
b₂=134-tg(37.233^о)*3924
b₂-b₁= 134-tg(37.233^о)*3924+ tg(37.233^о)*3749>0, значит 2-я прямая находится выше, а с ней и 2-й диаметр. Фигуры #1 и #2 не пересекаются.

3.Третья проблематичная точка это конец диаметра 2 - точка пересечения прямой y=tg(37.233^о)*x+134-tg(37.233^о)*3924 и окружности (x-3924)²+(y-134)²=1250².
Решив систему этих уравнений, и оценив полученные координаты, придём к тому, что абсцисса этой точки не превышает 4919,25, а ордината не превышает 890,33. {Тмин, Изделие, уж поверьте, что решал я не в каком-то там Вольфраме, и не измерял ни в каком КАДе, а на бумажке вручную}
Поскольку расстояние между точками A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) равно корню из (x_B-x_А)²+( у_B-у_А)², то расстояние от найденной до центра О(0;0) равно корню из (4919,25-0)²+(890,33-0)²<5000. Фигура #2 находится внутри большой окружности

del

Продолжим:

Осуществим поворот фигур #1 и #2 относительно центра О(0;0) на угол равный 40^о. Фигура #1 перейдёт в фигуру #3, а #2 перейдёт в #4.

Рис-2: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/164ec/4KR1COH2CmQ.jpg)

То, что фигуры #3 и #4 не касаются большой окружности – факт.
Но возникает проблематичная точка между полукругами #2 и #3.
После поворота точки (х;у) на угол α координаты новой точки вычисляются из системы
х’=x*cosα-y*sinα
y’=x*sinα+y*cosα
или в данном случае с точкой О₁(3749;0) и углом 40^о
х_O3=3749*cos(40^о)-0*sin(40^о)
y_O3=3749*sin(40^о)+0*cos(40^о)
Расстояние между центрами О₂ и О₃ равно корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат, и оно больше чем 1250+1250.
Фигуры #2 и #3 не имеют общих точек.

del

Осуществив поворот фигур #1 и #2 относительно центра О(0;0) ещё 7 раз на углы равные 80^о, 120^о, 160^о, 200^о, 240^о, 280^о, 320^о, разумеется против часовой стрелки, получим фигуры #5-#18.

Рис-3: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/164dc/IBSSc0x-zpg.jpg)

Все они будут внутри окружности x²+y²=5000²

del

На сегодня хватит.

 :help:
Не ну канешна бы здорово было если бы кто-нить предложил универсальную формулу плотного заполнения площади геометрическими фигурами.

Так о чем базар тут?
Насколько понимаю, есть ответ: 24 пельменя.
Вся остальная возня может быть только в том случае, если кто-то знает, как запихнуть от 25 пельменей.
Кто- то знает? Нет?
 

Vlad знает. :yesgirl:

Пока :wall: только 22, пока
Кружки понятно Х2
(http://s009.radikal.ru/i310/1509/0b/eaf2e5117d9e.jpg)

Vlad, предоставь полное решение размещения максимального количества полукругов без перекрытия в круге диаметра в 4 раза большого. Без CAD и всевозможных допущений: пусть круг имеет такой-то, диаметр, а маленькие круги - такой-то, а центр находится там-то .  Исходя из условий задачи, ясно, четко, подробно. You understand? Играем на вылет из Nazva, чтобы здесь остались настоящие математики. С уважением, Tmin.

То, что 24 разместить можно, тут и мудрить нечего.
Проводим окружность с центром O с диаметром D.
Из той же точки O проводим еще 3 окружности, с диаметрами: 0,75 D, 0,5 D, 0,25 D.
2 пельменя складываем в окружность с диаметром 0,25 D и размещаем центр этой окружности O1 на окружности 0,75D.
К окружности с 0.25 D c центром O1 проводим касательную, перпендикулярную радиусу данной окружности.
У нас образовался прямоугольный треугольник O1 A O.
Находим sin угла O1 O A = 0,125/0,375 = 0,33 = 19,47 градусов
По всей окружности таких пельменей можно разместить: 360/19,47 = 18,48 - 18 целых пельменей.
Остается место для пельменей только в окружности 0,5 D c центром O.
Туда становится 2 целые окружности 0,25 D и 2 половинки.
Итого: 24.
(http://i072.radikal.ru/1509/b7/2cea11db96a9.png)

Рассмотрим полукруг #19, образованный окружностью (x-1463)²+(y-589)²=1250² и прямой, проходящей через центр О₁₉(1463;589), угловой коэффициент которой равен tg(75^о).

Рис-4: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/167c6/0OqFqLYOeBM.jpg)

Если оба расстояния от точки О₁₉ до центров О₂, О₄ больше чем 1250+1250, то значит фигура #19 не имеет общих точек с фигурами #2 и #4.
Длина отрезка О₁₉О₂ равна корню из (3924-1463)²+(134-589)²=6263564; этот корень больше чем 2502. А значит фигуры #19 и #2 не пересекаются.
Для нахождения координат центра О₄ снова воспользуемся формулами
х’=x*cosα-y*sinα
y’=x*sinα+y*cosα
х_O4=3924*cos(40^о)-134*sin(40^о)
y_O4=3924*sin(40^о)+134*cos(40^о)
После допустимой аппроксимации координат, находим длину отрезка О₁₉О₄, - она чуть больше 2503. Значит между #19 и #4 нет касания.

Произведём поворот фигуры #19 относительно центра О(0;0) на угол равный 3*40^о=120^о; и ещё один поворот на 6*40^о=240^о.
Тем самым получим фигуры #20 и #21, которые не соприкасаются с другими.

Рис-5: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/167ce/2FJytt8Oo00.jpg)

Рассмотрим полукруг #22, образованный окружностью (x-322)²+(y-1397)²=1250² и прямой, проходящей через центр О₂₂(322;1397), угловой коэффициент которой равен tg(140^о).

Рис-6: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/167d6/v-agfKpY9ug.jpg)

Уже неоднократно испозовавшымися выше указанными формулами (по определению координат точки в результате поворота, и по определению расстояния между точками) вычисляем расстояние между центрами О₂₂ и О₆; оно превышает 2501, что больше суммы 2- радиусов 1250+1250. Фигура #22 не соприкасается с другими.

При повороте фигуры #22 относительно центра О(0;0) на угол равный 3*40^о=120^о; и ещё одном повороте на 6*40^о=240^о получим фигуры #23 и #24, которые не соприкасаются с другими.

Рис-7: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/167df/xnY29PdFBQE.jpg)

del

Теперь рассмотрим окружность x²+y²=1260² (её центр в начале координат О(0;0), а радиус R=1260, на Рис-8 она выделена малиновым цветом); а именно расстояние от её центра до фигур #19 и #22

Рис-8: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/167e7/5zCFkdwik14.jpg)

Если задано уравнение прямой A*x+B*y+C=0, то расстояние от точки M(M_х, M_у) до этой прямой находится по формуле
|A* M_х+B* M_у+C|/sqrt(A²+B²)
(модуль делим на корень)

tg(75^о)*x-у+(589-1436*tg(75^о))=0– уравнение прямой, проходящей через диаметр фигуры #19.
tg(140^о)*x-у+(1397-322*tg(140^о))=0– уравнение прямой, проходящей через диаметр фигуры #22.

Подставив данные, получим расстояния 1260,71 и 1277,14.
Окружность радиусом 1260 не касается ни одной из фигур #19-#24.
И внутри неё можно без проблем поместить два полукруга радиусом 1250, которые не соприкасаются ни с ней, ни друг с другом.
Подойдут те, что указаны на Рис-8:
 #25:{x²+(y-1)²<=1250²
        {y>=1

#26:{x²+(y+1)²<=1250²
        {y<=-1




По-сути это всё, вот

Рис-9: (http://pp.vk.me/c629418/v629418169/167be/2ac2GoLnX_U.jpg)

:beer:

Ну, ты психанул, Владко:)
Гарна картинка:)

Хорошо, как доказать, что 26 - максимум?

 :o

а мои посты #59 и #60 по-твоему что значат?
плюс только-что #68!

Ты точно с меня прикалываешься!

А я бью горохом об стену твоей упёртости!



 :o  :o  :o
 :roll:

Не принимаю.

Не хочу чтобы ты ушла.
Честно!

И сам никуда не собираюсь!

Тмин, Влад тебе, да и другим форумчанам,
по возможности детально,
по шагово,
языком 9-классника,
описАл процесс построения 26-ти полукругов,
которые не касаются друг друга,
и не касаются большой окружности.

Не смотря на частный случай с радиусами 5000 и 5000/4, если тебе знакомо понятие гомотетии, то можешь использовать любую сковородку; только чтоб радиус пельмешек был в 4 раза меньше.

Прекрасно понимаю, что это не строгое доказательство, но мы ведь не теорему Ферма доказываем.

del

Неужели ты и вправду считаешь соросовкие решения, которые у тебя есть, как единственно верные неприкасаемые догматы, которые ни в коем случае нельзя опровергать?

Красивое решение,
простое и понятное,
не то что моё.

И на чертёже всё предельно ясно.

Но ты надеюсь понимаешь, то если первые два полукруга разместить не так как у тебя (где диаметр, разрезающий их, находится на оси Ох), а так как у меня на Рисунке-1,
то тем самым, после разложения первых 18-ти полукругов, внутри останется не "0,5 D c центром O", а больше чем 0,5. Это даст возможность без касаний впихнуть 6 штук не считая 2-х центральных.
Согласен?

Понимаю, Владко:)
И интуитивно чувствовал, что можно впихнуть больше, если покрутить пельмени.
Но не уверен, что предложенная тобой форма размещения дает максимальный результат.
Нужно искать строгое доказательство...

27 - вряд ли.
Влад пасс.

В эвклидовом пространстве походу так и есть, хотя чуть ещё получше разрулю Акад--2К16 найти стандартный 2К неполучилось, а к этому ещё руки не заточились.

Чего вы Тмин терзаете? Все она понимает. Конверт в руки - и в соровский комитет до востребования!))

:-X

Vlad, сумел, таки, уложить на эту сковородку 26 пельменей. Поздравляю!
Мне очень понравилось решение i с 24 пельменями, оригинальное и красивое.
Тему можно развивать и дальше, это приветствуется.  :yesgirl:

можем вареники жарить, или биляжи :crazy:

предлагаю квадратики
сторона каждого в 6 раз меньше диаметра большой окружности.

Слышь, Тмин, тут прямоугольнички предлагают, в округлое тело))
http://www.youtube.com/watch?v=GfCXMuywnSA

прямоугольники!?!, где предлагают? ???

Так у вас квадратики есть..)) это что уже подгруппа архимедовой спирали?

Зезды, а лучше сразу Маген Дауд