|
Название: 1,2 и 3 Отправлено: Робинзон от Октябрь 06, 2014, 14:33:10 На доске написно 2013 единиц, 2014 двоек и 2015 троек. Вася каждую минуту совершает следующую операцию: стирает два разных числа и записывает вместо них третье число (1 и 2 меняем на 3, 2 и 3 на 1, а 1 и 3 на 2). Докажите, что последняя цифра, оставшаяся после всех операций будет 2, независимо от действий Васи.
Название: Re: 1,2 и 3 Отправлено: снн от Октябрь 06, 2014, 17:53:45 Т.к. троек на 1 больше, чем двоек и на 2 - чем единиц, то при любом раскладе всегда остается одна тройка. Исключаем ее. Из нечетного количества цифр соотношение троек и двоек равное и четное и на 1 больше чем единиц. Т.о. мы можем сначала избавиться ото всех двоек, превратив их в единицы. В этом случае всего получится нечетное количество единиц и одна отложенная вначале тройка. Легко посчитать, что в этом случае в конце останется 2.
Если же избавимся от единиц, то останется либо 1 двойка и три3+1отложенная тройка=4, либо 3 двойки и 1+1=2 тройки. И в том, и в другом случае в конце остается 2 . Если избавимся от троек, то получим нечетное количество единиц и одна отложенная тройка ( см. первый вариант). Грубо говоря, 2013 единиц, 2014 двоек и 2015 троек, соблюдая четность, можно представить как: 1 2 2 3 3 3 и рассмотреть все выше изложенные манипуляции. |