Форум умных людей

Нужно провести полное исследование функций
1. y=x^2 (1-x^2)-1

2.          2x^2+2
     y=    _______
     
                x+2

в первом и втором примере что то не сходиться, не могу сообразить что...
Нужно найти
1. Область определения D(y).

2. Четность, нечетность функции.

3. Периодичность

4. Точки пересечения с осями.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Асимптоты функции.

8. График функции.

9. Область допустимых значений E(y) функции

Очень нужно прошу помагите в долгу не останусь!

1. y=x²(1-x²)-1

1. Область определения D(y).
D(y)=(-∞; +∞)

2. Четность, нечетность функции.
f(-x)=(-x)²(1-(-x)²)-1=x²(1-x²)-1=f(x) - функция четная

3. Периодичность.
f(x)≠f(x+T) ни при каком Т>0 - функция непериодическая

4. Точки пересечения с осями.
с осью Oy: x=0 → y=-1
с осью Ox: y=0 → x²(1-x²)-1=0 → x²-x⁴-1=0 → x⁴-x²+1=0
x²_1,2=¹/₂±√(¹/₄-1) - корней нет

5. Экстремумы и интервалы монотонности.
y'=2x-4x³; y'=0 → 2x-4x³=0 → 2x(1-2x²)=0; x₁=0, x_2,3=±√2/2
-∞<x<-√2/2 → y'>0 - функция возрастает
-√2/2<x<0 → y'<0 - функция убывает
0<x<√2/2 → y'>0 - функция возрастает
√2/2<x<+∞ → y'<0 - функция убывает
В точке x=-√2/2 производная меняет знак с (+) на (-) - максимум
В точке x=0 производная меняет знак с (-) на (+) - минимум
В точке x=√2/2 производная меняет знак с (+) на (-) - максимум

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
y''=2-12x²; y''=0 → 2-12x²=0; x_1,2=±√6/6
-∞<x<-√6/6 → y''<0 - функция выпукла
-√6/6<x<√6/6 → y''>0 - функция вогнута
√6/6<x<+∞ → y''<0 - функция выпукла
В точке x=-√6/6 вторая производная меняет знак с (-) на (+) - перегиб
В точке x=√6/6 вторая производная меняет знак с (+) на (-) - перегиб

7. Асимптоты функции.
Вертикальных асимптот нет (отсутствуют точки разрыва)
Горизонтальные асимптоты
lim f(x)=lim x²(1-x²)-1=∞ - горизонтальных асимптот нет
x→∞       x→∞
Наклонные асимптоты
k=lim f(x)/x=lim (x²(1-x²)-1)/x=∞ - наклонных асимптот нет
    x→∞           x→∞

8. График функции.

(http://s008.radikal.ru/i304/1501/96/45973c8d78a9.jpg)

9. Область допустимых значений E(y) функции
E(y)=(-∞;-0.75]

Огромное СПАСИБО!!!

Ну а со вторым можете тоже помочь

Я то увы немногим, для меня пункты с 3 по последний за исключением 8. - это грязные ругательства или список южно-африканских кожно-венерологических заболеваний
Но 8. легко может чем и поможет
(http://s45.radikal.ru/i109/1501/a0/8dae878f369c.jpg)
Ну и ещё оттуда же хлама
Показать скрытый текст
Ну и последнее из того что умеет
(http://s015.radikal.ru/i330/1501/76/248787ba234a.jpg)

           2x²+2
2. y = --------
             x+2

1. Область определения D(y).
D(y)=(-∞; -2)U(-2; +∞)

2. Четность, нечетность функции.
            2(-x)²+2      2x²+2
f(-x) = ----------- = -------- ≠ f(x) ≠ -f(x) - функция общего вида (ни четная, ни нечетная)
               -x+2            2-x

3. Периодичность.
f(x)≠f(x+T) ни при каком Т>0 - функция непериодическая

4. Точки пересечения с осями.
с осью Oy: x=0 → y=1
с осью Ox: y=0 → 2x²+2=0 → x²=-1 - корней нет

5. Экстремумы и интервалы монотонности.
        4x(x+2)-2x²-2      2x²+8x-2
y' = ------------------ = -----------
              (x+2)²               (x+2)²
y'=0 → 2x²+8x-2=0 → x²+4x-1=0
x_1,2=-2±√(4+1)=-2±√5
В точке x=-2 y' не существует
-∞<x<-2-√5 → y'>0 - функция возрастает
-2-√5<x<-2 → y'<0 - функция убывает
-2<x<-2+√5 → y'<0 - функция убывает
-2+√5<x<+∞ → y'>0 - функция возрастает
В точке x=-2-√5 производная меняет знак с (+) на (-) - максимум
В точке x=-2+√5 производная меняет знак с (-) на (+) - минимум
В точке x=-2 функция не существует

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
        (4x+8)(x+2)²-2(2x²+8x-2)(x+2)       20
y'' = ------------------------------------- = --------
                             (x+2)⁴                         (x+2)³
-∞<x<-2 → y''<0 - функция выпукла
-2<x<+∞ → y''>0 - функция вогнута

7. Асимптоты функции.
Вертикальная асимптота x=-2
Горизонтальные асимптоты
                   2x²+2
lim f(x)=lim -------- = ∞ - горизонтальных асимптот нет
^{x→∞        x→∞}   x+2
Наклонные асимптоты
                          2x²+2
k=lim f(x)/x=lim ------- = 2
    ^{x→∞            x→∞} x²+2x
                                2x²+2                   -4x+2
b=lim (f(x)-kx)=lim  -------- - 2x = lim  -------- = -4
    ^{x→∞                   x→∞}  x+2              ^x→∞   x+2
Наклонная асимптота y=2x-4

8. График функции.

(http://s018.radikal.ru/i518/1501/a5/a8144011d22f.jpg)

9. Область допустимых значений E(y) функции
E(y)=(-∞; -8-4√5]U[-8+4√5; +∞)