Форум умных людей

1) lim х стремится к 1/2 (sqrt 4 sqr(x)+3) - sqrt 2x+3 / 2 sqr(x)+x-1
2) lim х стремится к 0 (1-сos3x)/(x tg3x)
3) lim x стремится к 0 (x-cos2x)/(cos7x-cos3x)
4) lim x стремится к 0 ( 2(exp(Пх)-1)) / ( корень кубический с 1+х и без корня -1
5)f(x)= (6 sqr(x) -x-7)/(sqr(x)-5x-6))

1) lim х стремится к 1/2 (sqrt 4 sqr(x)+3) - sqrt 2x+3 / 2 sqr(x)+x-1
(sqrt 4 sqr(x)+3) - это непонятно. Поясните, пжалста.

2) lim х стремится к 0 (1-сos3x)/(x tg3x)

lim(1-сos3x)/(x tg3x) = lim 3sin3x/(tg3x+3x/cos²3x) = lim 3sin3x/(tg3x+3x/cos²3x) =
х→0                                х→0                                            х→0
lim 9cos3x/(3/cos²3x+(3cos²3x-6xcos3xsin3x)/cos⁴3x)) = 3/2
х→0

3) lim x стремится к 0 (x-cos2x)/(cos7x-cos3x)

Тут в числителе -1, а в знаменателе 0. Правильно ли это?

4) lim x стремится к 0 ( 2(exp(Пх)-1)) / ( корень кубический с 1+х и без корня -1

lim (2(e^Пх-1)) / (∛(1+х)-1) = lim 2Пe^Пх / (1/3∛(1+х)²) = 6П
x→0                                         x→0

Да не это то как-раз болмене разруливается, а вот с остальным надо знать как скобки расставить.
если дословно по написанному то
(http://s005.radikal.ru/i211/1509/bd/554cd757f695.jpg)
Вариант, что предел Х стремится к функции по Х отметаю изначально, хотя  :censored: знает может сейчас так учить начали  :crazy:

Ху из Наташа98?

Похоже, что так должно быть
lim (√(4x²+3) - √(2x+3)) / (2x²+x-1)
^х→1/2
(http://s020.radikal.ru/i702/1509/8f/8bedc6a22fa3.gif)

Класс!

5) f(x)= 6x^2-x-7/x^2-5x-6
Исследователь функцию на непрерывность. В точках разрыва найти левостороннюю и правостороннюю границу функции.Определить характер точек разрыва. Сделать схематический график в окрестности точек разрыва.

f(x) = 6x²-x-7/x²-5x-6

x²-5x-6=0; x_1,2=5/2±√(25/4+6)=5/2±√49/4=5/2±7/2; x₁=6, x₂=-1

lim 6x²-x-7/x²-5x-6 = -∞
^x→6-0
lim 6x²-x-7/x²-5x-6 = +∞
^x→6+0
В точке x=6 разрыв 2 рода.

lim 6x²-x-7/x²-5x-6 = lim (x+1)(6x-7)/(x+1)(x-6) = lim (6x-7)/(x-6) = 13/7
^{x→-1-0                          x→-1-0}
lim 6x²-x-7/x²-5x-6 = lim (x+1)(6x-7)/(x+1)(x-6) = lim (6x-7)/(x-6) = 13/7
^{x→-1+0                         x→-1+0}
В точке x=-1 устранимый разрыв.

(http://s019.radikal.ru/i625/1510/4e/0f225cb64c20.gif)

Здравствуйте, помогите пожалуйста с мат.анализом..((
1) Найти производную первого порядка:
y=ln^5 arctg(x-1/x+1)
2) Найти производную dy/dx функции, заданной неявно:
arctg(y/x)=x-y^2
3)Найти производную dy/dx функции, заданной параметрически:
y=t*sqrt(t^2-1)
4)Найти производную dy/dx функции, пользуясь правилом логарифмического дифференцирования:
y= arcsin(x)^sin(x)
5) Найти производную d^2y/d^2x функции, заданной неявно:
x=lnctg(t), y=1/sin(t)
6) Составьте уравнение касательной и нормали:
к кривой y=x^2-x-3  в точках, в которых касательные создают с осью Ох, угол 135 градусов
7) Найти промежутки возрастания и спадания функции:
y=(x-4)^3*(x+5)^2
8 ) Найти точки перегиба,  интервалы выпуклости и вогнутости функции:
y=(x^2+2x+1)/x^3

1) Найти производную первого порядка:
y=ln^5 arctg(x-1/x+1)

y=ln⁵arctg((x-1)/(x+1))
y'=5ln⁴arctg((x-1)/(x+1))/(arctg((x-1)/(x+1))·(((x-1)/(x+1))²+1))·2/(x+1)²

2) Найти производную dy/dx функции, заданной неявно:
arctg(y/x)=x-y^2

arctg(y/x)=x-y²
(arctg(y/x))'=(x-y²)'
((y'x-y)/x²)/(1+(y/x)²)=1-2yy'
(y'x-y)/x²=(1+(y/x)²)(1-2yy')
y'x-y=(x²+y²)-2yy'(x²+y²)
y'(x+2y(x²+y²))=x²+y²+y
y'=(x²+y²+y)/(x+2y(x²+y²))

3)Найти производную dy/dx функции, заданной параметрически:
y=t*sqrt(t^2-1)

А для x какое уравнение?

4)Найти производную dy/dx функции, пользуясь правилом логарифмического дифференцирования:
y= arcsin(x)^sin(x)

y=arcsin(x)^sin(x)
lny=sin(x)lnarcsin(x)
y'/y=cos(x)lnarcsin(x)+sin(x)/(arcsin(x)√(1-x²))
y'=y(cos(x)lnarcsin(x)+sin(x)/(arcsin(x)√(1-x²)))=
arcsin(x)^sin(x)(cos(x)lnarcsin(x)+sin(x)/(arcsin(x)√(1-x²)))

5) Найти производную d^2y/d^2x функции, заданной неявно:
x=lnctg(t), y=1/sin(t)

x'_t=-1/(ctg(t)sin²(t))=-1/(cos(t)sin(t))
y'_t=-cos(t)/sin²(t)

y'_x=y'_t/x'_t=-cos(t)/sin²(t)(-cos(t)sin(t))=cos²(t)/sin(t)=ctg(t)cos(t)
y"_xx=(y'_x)'_t/x'_t=(-cos(t)/sin²(t)-ctg(t)sin(t))(-cos(t)sin(t))=cos²(t)/sin(t)+cos²(t)sin(t)

6) Составьте уравнение касательной и нормали:
к кривой y=x^2-x-3  в точках, в которых касательные создают с осью Ох, угол 135 градусов

y=x²-x-3

y'=2x-1
y'(x₀)=tg(135°)=-1
2x₀-1=-1 → x₀=0

y_к=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)=(2∙0-1)(x-0)+0²-0-3=-x-3
y_н=-1/f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)=-1/(2∙0-1)(x-0)+0²-0-3=x-3

7) Найти промежутки возрастания и спадания функции:
y=(x-4)^3*(x+5)^2

y=(x-4)³(x+5)²
y'=3(x-4)²(x+5)²+2(x-4)³(x+5)=(x-4)²(x+5)(3(x+5)+2(x-4))=(x-4)²(x+5)(5x+7)
(x-4)²(x+5)(5x+7)=0; x₁=4, x₂=-5, x₃=-1.4

-∞<x<-5, y'>0 - возрастание
-5<x<-1.4, y'<0 - убывание
-1.4<x<4, y'>0 - возрастание
4<x<+∞, y'>0 - возрастание

8 ) Найти точки перегиба,  интервалы выпуклости и вогнутости функции:
y=(x^2+2x+1)/x^3

y=(x²+2x+1)/x³
y'=((2x+2)x³-3(x²+2x+1)x²)/x⁶=(-x²-4x-3)/x⁴
y"=((-2x-4)x⁴-4(-x²-4x-3)x³)/x⁸=(2x²+12x+12)/x⁵

x=0, y"=∞
y"=0, x²+6x+6=0; x_1,2=-3±√(9-6)=-3±√3

-∞<x<-3-√3, y"<0 - выпуклость
-3-√3<x<-3+√3, y">0- вогнутость; x=-3-√3 - перегиб
-3+√3<x<0, y"<0 - выпуклость; x=-3+√3 - перегиб
0<x<+∞, y">0 - вогнутость

(http://s017.radikal.ru/i401/1510/29/618aac8161b5.jpg)