Форум умных людей

Если  a ≤ 0,4,  то искомый раствор получается во втором сосуде после переливания из первого сосуда во второй 1,5a л обычной воды.
  Пусть  0,4 < a < 2/3.  Перельём  1 – a л  воды из первого сосуда во второй и будем последовательно делать такие двойные переливания: из второго сосуда в первый до краев, а затем из первого во второй до краев. Если перед таким двойным переливанием во втором сосуде содержится x л святой воды и  1 – x л  обычной воды, а в первом сосуде, соответственно,  a – x л  святой воды и x л обычной воды, то после первого переливания в первом сосуде станет  a – x + (1 – a)x = a – ax л  святой воды (и он будет полный), а во втором останется ax л святой воды. После второго переливания второй сосуд наполнится доверху, и святой воды в нем станет
ax + (1 – a)(a – ax) = a²x+ a – a² л.
  Таким образом, количество a_n святой воды во втором сосуде после n-го двойного переливания выражается рекуррентно:  a_n = a²a_n–1 + a – a²,  a₀ = a.
  Из рисунка, выражающего динамику a_n, видно, что числа a_n монотонно убывают к абсциссе a/(1+a) пересечения прямых  y = a²x + a – a²  и  y = x.
(http://s61.radikal.ru/i174/1601/37/9eefa32e845e.png)
  Поскольку  a < 2/3,  имеем  a/(1+a) < 0,4,  и найдётся такое k, что  a_k ≤ 0,4 < a_k–1.  Тогда, прерывая второе переливание в k-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор во втором сосуде (возможно, неполном).
  Пусть теперь  2/3 < a < 1.  Будем последовательно делать такие двойные переливания: из первого сосуда во второй до краев, а затем из второго в первый до краев. Аналогично предыдущему показывается, что количество b_n святой воды в первом сосуде после n-го такого двойного переливания выражается рекуррентно:
b_n = a²b_n-1 + a – a²,  b₀ = 0.
  Из рисунка видно, что числа b_n монотонно возрастают к той же абсциссе a/(1+a) пересечения прямых  y = a²x + a – a²  и  y = x. Поскольку  a > 2/3,  имеем  a/(1+a) > 0,4,  и найдётся такое k, что  b_k–1 < 0,4 ≤ b_k. Тогда, прерывая второе переливание в k-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор святой воды в первом сосуде (возможно, неполном).
  Наконец, покажем, что при  a = 2/3  требуемый раствор нельзя получить ни в одном из сосудов. Предположим противное: такой раствор получился в результате каких-то переливаний в одном из сосудов – скажем, в первом, – впервые. Тогда во втором сосуде раствор не 40-процентный, так как при последнем переливании (из второго сосуда в первый) процентное содержание святой воды во втором сосуде не менялось. Но если в первом сосуде получилось
x л 40-процентного раствора святой воды, то есть 0,4x л святой и 0,6x л обычной воды, то во втором сосуде святой воды  2/3 – 0,4x л,  а обычной воды  1 – 0,6x л,  то есть в нём тоже
40-процентный раствор святой воды. Противоречие.