Форум умных людей

1) Найти частное решение ДУ и вычислить значение полученной функции при x=x0, с точностью до двух знаков после запятой.
y'''=xsinx , Xo=П/2, y(0)=0, y'(0)=0 (Ответ: 0.14 )
2) Найти общее решение ДУ, допускающего понижение порядка
y''-y'/(x-1)=x(x-1) (Ответ: y=x^4/8-x^3/6+C1x^2/2-C2x+C3)
3) Найти общее решение ДУ:
a) y''-3y'=0
б) y''-7y'-8y=0
в) y''+4y'+13y=0

1) Найти частное решение ДУ и вычислить значение полученной функции при x=x₀, с точностью до двух знаков после запятой.
y'''=xsinx , x₀=π/2, y(0)=0, y'(0)=0 (Ответ: 0.14 )

y'' = ∫xsinxdx = -xcosx - ∫-cosxdx = -xcosx + sinx + C₁ | u=x → du=dx; dv=sinxdx → v=-cosx

y' = ∫(-xcosx + sinx + C₁)dx = ∫-xcosxdx - cosx + C₁x + C₂
∫-xcosxdx = -xsinx + ∫sinxdx = -xsinx - cosx                   | u=x → du=dx; dv=-cosxdx → v=-sinx
y' = -xsinx - 2cosx + C₁x + C₂

y = ∫(-xsinx - 2cosx + C₁x + C₂)dx = xcosx - 3sinx + C_1ax² + C₂x + C₃; C_1a = C₁/2

y(0) = 0 → C₃ = 0
y'(0) = 0 → C₂ = 2
y''(0) = 0 → C₁ = 0

y = xcosx - 3sinx + 2x
y(π/2) = π/2∙cos(π/2) - 3sin(π/2) + 2π/2 ≈ 0.14

2) Найти общее решение ДУ, допускающего понижение порядка
y''-y'/(x-1)=x(x-1) (Ответ: y=x⁴/8-x³/6+C₁x²/2-C₂x+C₃)

y' = t
y'' = t'

t' - t/(x-1) = x(x-1)

t' - t/(x-1) = 0
t' = t/(x-1)
dt/t = dx/(x-1)
ln|t| = ln|x-1| + ln|C|
t = C(x-1)

t = C(x)(x-1)
C'(x)(x-1) + C(x) - C(x)(x-1)/(x-1) = x(x-1)
C'(x) = x
C(x) = x²/2 + C₁

t = (x²/2 + C₁)(x-1)

y' = (x²/2 + C₁)(x-1)
y = ∫(x²/2 + C₁)(x-1)dx = ∫(x³/2 - x²/2 + C₁x - C₁)dx = x⁴/8 - x³/6 + C₁x²/2 - C₁x + C₂

3) Найти общее решение ДУ:
a) y''-3y'=0
б) y''-7y'-8y=0
в) y''+4y'+13y=0

a) y'' - 3y' = 0

y' = t
y'' = t'

t' - 3t = 0
dt/dx = 3t
dt/t = 3dx
ln|t| = 3x + ln|C₁|
t = C₁e^3x

y' = C₁e^3x
y = ∫C₁e^3xdx = ¹/₃∙C₁e^3x + C₂

б) y'' - 7y '- 8y = 0

k² - 7k - 8 = 0
k_1,2 = 7/2 ± √(49/4+8) = 7/2 ± √81/4 = 7/2 ± 9/2
k₁ = 8, k₂ = -1

Корни действительные и различные, поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид

y = C₁e^k₁x + C₂e^k₂x = C₁e^8x + C₂e^-x

в) y'' + 4y' + 13y = 0

k² + 4k + 13 = 0
k_1,2 = -2 ± √(4-13) = -2 ± 3i
α = -2, β = 3

Получили пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

y = e^αx(C₁cosβx + C₂sinβx) = e^-2x(C₁cos3x + C₂sin3x)