Форум умных людей

Мне интересно как можно сравнить числа 2010²⁰¹⁰ и 2011²⁰⁰⁹ . И вообще подобные задачи. Если кто знает - отпишитесь плиз )

Вроде решил )) Пишите ответы )

Вопрос к Николаю :)

1. Подразумеваться может так: для ф-ии x^(4020-x) производная (x^(4020-x))((4020-x)/x-ln(x)), отсюда экстреум для исходной при x=550; при x=4020 производная < 0 => ф-я справа убывает, => 2010^2010 > 2011^2009.
2. Вычесть из первого второе, получившееся в итоге положительное 6678-значное число убеждает в том, что первое явно больше.  :read:

Сложновато )) Нельзя ли 2010 обозначить за m, тогда сравниваем m^m и (m+1)^(m-1) , подставив сюда любое число (к примеру 2) получим 4 и 2 - следовательно первое больше.

Осталось доказать, что если неравенство верно при одном частном случае, оно будет верно при любых других. Если человек не выпускник школы ЗПР, то ему сразу и без подсчетов будет ясно, что первое больше, а доказательство 'для себя' таковым, как ни крути, и останется - пятерка за домашку по математике с ним явно не светит  :)

Это не домашка, задачка взята из какой-то окружной олимпиады, проходившей года 2 назад, для 11 класса. Что за формула производной, можно такой вопрос ?? )

За спрос не бьют в нос   :beer:
В смысле что за формула?

Всмысле, можно её увидеть в общем виде ?

Айм конфузед  :)

А как посчитал7
На калькуляторе такое не осилишь

Или такой пример:
Какая цифра стоит на 100-м месте после запятой в десятичной записи числа (44+√2009)²⁰⁰⁹?

ответ есть?)) Очень интересно как решать такие задачи :)

1) 2010²⁰¹⁰ - (a);  2011²⁰¹⁰/2011 - (b)
2)Делим (b) на (a) и предполагаем что результат больше 1 (значит  (b) больше (a)) иначе  (a) больше(b).
3)(2011/2010)²⁰¹⁰*1/2011>1
4)(2011/2010)²⁰¹⁰>2011
5)Прологарифмируем левую и правую часть:
   2010*Ln(2011/2010)>Ln(2011)
6) Ln(2011/2010)>Ln(2011)/2010
7)0.000497>0.0037843 Условие не выполняется, значит (a) больше (b)

Что-то аналогичное комплексным числам есть, радикальные они называются, что ли. Там аналог формулы Муавра для комплексных есть, скорее всего

Прологарифмируем каждое число (логарифмы найдём натуральные; данные числа больше 1, основание логарифма больше 1, поэтому верно: если логарифм одного из чисел будет больше логарифма другого числа, то и само первое число больше втрого числа).

Имеем:

ln(2010²⁰¹⁰)= 2010*ln(2010) = 2010*7,60589 = 15287,838
ln(2011²⁰⁰⁹) = 2009*ln(2011) = 2009*7,606388 = 15281,233

Поскольку 15287,838 > 15281,233, то первое число больше второго.

просто и понятно :bravo2:

Да, молодец. Я логарифмы недолюбливаю, а некоторые с ними на ты. Только одно но: по сути свели одну задачу(точную) для калькулятора к другой задаче(приближенной) для калькулятора. И чем отличается первая от второй, и что делать бедному абитуриенту, у которого перед входом на вступительный отобрали калькулятор, не особо понятно  :)

а мне говорили про сопряженные числа