Форум умных людей

Представляю первую открытую Интернет-олимпиаду проекта “Приглашение в мир математики”  (http://intelmath.narod.ru/olymp1.html). Участие в ней – это хорошая возможность поддержать себя в форме перед оффлайновыми олимпиадами, испытать удовольствие от решения красивых задач и, получить повод для гордости, показывая друзьям своё имя в списке победителей.

Задание олимпиады состоит из семи задач, правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Присылайте решения по адресу: intelmath@narod.ru
Подведение итогов олимпиады состоится 2 марта 2010 года.

1.Игра со спичками
В двух коробках лежат спички.

Два игрока делают ходы по очереди. За один ход можно:
а) забрать одну спичку из первой коробки, или
б) забрать по одной спичке из обеих коробок, или
в) забрать две спички из второй коробки, или
г) переложить одну спичку из второй коробки в первую.
Выигрывает тот, кто оставляет обе коробки пустыми.

Кто (игрок, начинающий игру, или его соперник) выиграет, если игроки не делают ошибок и вначале в первой коробке 20 спичек, а во второй десять?

2.Пять квадратов
Число 2010 представляется в виде суммы пяти последовательных квадратов:
2010=18²+19²+20²+21²+22²

Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов – число 55:
55=1²+2²+3²+4²+5².

Как по виду числа определить, представляется ли оно в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов или нет?

3.Увеличение числа
Если в натуральном числе, не делящемся на 10, перенести предпоследнюю цифру на первое место, оно увеличится в n>1 раз. Для каждого натурального n, для которого такое возможно, приведите пример искомого числа.

4.Простая дробь
Согласно справочнику Гугла, 1 фунт равен 0,45359237 килограмма. Найдите простую дробь с минимальными числителем и знаменателем, значение которой отличается от этой десятичной дроби менее, чем на 2*10^-5

5.Камень, Ножницы, Бумага
В игре «камень-ножницы-бумага» есть три фигуры. Камень считается сильнее Ножниц, Ножницы – сильнее Бумаги, а Бумага – сильнее Камня.

При игре вдвоём оба игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из фигур и, если они различны, определяется победитель. Если же выброшенные фигуры одинаковы – следует ещё одно выбрасывание, и так до выявления победителя.

При игре втроём игроки одновременно выбрасывают одну из фигур, и:
Если все три фигуры различны или все они одинаковы, следует перебрасывание;
Если один игрок выбросил более сильную фигуру, а два других – одинаковую, более слабую, то этот игрок объявляется победителем;
Если один игрок выбросил более слабую фигуру, а два других – одинаковую, более сильную, то далее следует определение победителя из этих двоих.

Сколько в среднем нужно провести выбрасываний, чтобы определить победителя среди троих игроков?

6.Что дальше?
Продолжите последовательность:
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …

7.Самоописывающее равенство
Равенство 1+2=3 интересно тем, что первое его слагаемое равно общему количеству чётных цифр, использованных в равенстве, второе слагаемое равно общему количеству нечётных цифр в нём, а сумма равна общему количеству цифр в этом равенстве.

Составьте равенство
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=K, где
Слагаемое A равно общему количеству нулей в этом равенстве;
Слагаемое B равно общему количеству единиц в этом равенстве;
Слагаемое C равно общему количеству двоек
и т.д.
Слагаемое J равно общему количеству девяток, а
Сумма K равна общему количеству цифр в этом равенстве.

Удачи!!!

4.      5/11

2. кратна 5

sek140675, зачем же тут писать ответы ???

а где?

4. 911/2009

Тем более - неправильные ;)

Решения на почту шлите, пожалуйста  intelmath@narod.ru

На 7 задач месяц - есть время спокойно всё обдумать  :)

ну так эт для желающих :)

так а зачем тут тогда писать задачки?

-Ты собираешься меня учить?
-Что ты! У меня терпения не хватит. Но я позволю тебе научиться кое-чему.
Т.Пратчетт, "Маскарад"

По-моему ясно сказано, что надо отправлять ответы и что это индивидуальная олимпиада для всех желающих проверить свои знания, а не списать их с форума

понятно

а неправильные значит можно? :beer: :cool4:

Даже нужно :) отличная игра получится :bomb: на нервах :bad2:

Redirect, Это точно. Я сам в прошлом году участвовал в Математическом марафоне: автор на нескольких форумах вывешивал задачи, чтобы участникам удобнее было.

sek140675, а Ветровоск действительно молодец. И эти её слова отлично подходят к сайту, который я курирую :)

 :whiteflag:

Задумка замечательная.  :nyam:
Но почему 5 из 7-ми задач на теорию чисел?  :'( Остаются только две, которые в принципе интересно будет решать.

спасибо :)

тематика - тут, скорее, дело вкуса, я наполнял из личных предпочтений и тем статей на сайте. Попробуйте - надеюсь, вам все понравятся :)

Мне не совсем понятно в задаче 4, что значит "простая дробь"?
Сначала я поняла, что это должна быть обыкновенная дробь.
Но почему тогда ответ 5/11 неправильный? Это же обыкновенная дробь?
Что значит: "дробь 5/11 кратна 5"? То есть вы хотите сказать, что в числителе дроби должна стоять 1?

***
Вопрос не по существу  :)

Олимпиада - это, конечно, здорово. Но все олимпиадные задачи, как правило, уже решённые и решение известно. Так?
А можете ли вы провести на своём сайте конкурс на лучшее решение нерешённых задач о магических квадратах и магических кубах? У меня есть такие задачи.
Над одной задачей я бьюсь уже 4 месяца и никак не могу решить.
Кстати, я видела вашу интернет-олимпиаду на форуме dxdy.ru.
А вы заглядываете на том форуме в мои темы "Магические квадраты" и "Магические кубы"?

Да, всё правильно, простая или обыкновенная дробь: числитель/знаменатель.

А про правильность/неправильность я до 2 февраля ничего говорить не буду :)

А задачи - с удовольствием расскажу о них читателям. Видел ваши иемы на dxdy.ru, просто всё никак не собрался нормально разобраться с проблемой.

Вы, однако, уже сказали, что ответ 5/11 неправильный. Вот поэтому я и спросила: почему он неправильный. :)
А 2 февраля-то уже прошло вроде... Сегодня уже 4-ое.

Неужели правда расскажете о моих задачах читателям?
Тут совет давали, как надо задачу преподносить, чтобы её быстро начали решать.
Вот так, например: мою задачу целый научный форум решить не может :)

Правильно? Уже начали решать?  :think:

А задача сама в теме "Магические квадраты".

вы наверно имеете в виду 2 февраля 2011 года,столько ждать!!!!!!!!!!!!

Ой, т.е. до 2го марта, конечно. :D

Ещё такой вопрос: можно решать отдельные задачи, или необходимо решить весь предлагаемый пакет задач?

Конечно, можно решать по отдельности - что больше нравится. :)

Ещё вопрос, по задаче №6.
Не вкралась ли в условие ошибка?  :)

Так, на всякий случай проверьте.
У меня получается одна очень похожая последовательность, но между числами 21 и 29 в моей последовательности есть ещё числа.

Не пропущены ли у вас числа после числа 21?

Вполне возможно, что я просто нашла другую последовательность.

Хотя, да, полученная мной последовательность была бы слишком проста ;)

Я отправила вам свою последовательность в личку (на форуме dxdy.ru).

а я решил одну задачу :ura: :ura: :ura:
вроде одна из легких :rest:

square, решения получил, спасибо
Последовательность ещё раз проверил - нет, она именно такая, как я написал

Илья, высылали уже?

неа, а зачем?

Можно просто в ЛС написать?

Илья, я так и сделала  :)

General, я предполагала, что полученная мной последовательность не та, уж слишком она просто получается. Но проверка никогда нелишняя. Теперь буду ломать голову над вашей последовательностью, на досуге (во время рекламы по телевизору).

Решение одной из задач доставило мне большое удовольствие. Спасибо. Красивая задача! (надеюсь, что я её правильно решила  :))

спасибо, приятно :)
Илья, да, можно в ЛС

Ещё вопрос про последовательность (задача № 6).
Надо ли представлять формулу n-ого члена последовательности? Или достаточно просто написать продолжение?

Наверное потому, что не отвечает заданной точности :)

Ага! Это я уже потом проверила, насчёт точности. А меня смутило другое, был ответ "кратна 5"

Для последовательности нужно найти закономерность (она красивая и математическая, никаких подвохов)

Да это понятно, что нужно найти закономерность!
Только ведь вопрос был не о том. Я спросила: надо ли давать формулу общего члена последовательности?
Закономерности могут у всех разные получиться. Я вот напишу вам продолжение последовательности (хоть до сотого члена), а вы догадаетесь, какая у меня закономерность?  :)

Так вы же словами эту закономерность тоже опишете?

Словами запросто опишу. Но ведь у нас вроде математическая задача, а к ней слова как-то негоже прилагать. Вот общая формула для любого члена последовательности - это совсем другое дело  :)
Скажем, вы захотите вычислить 101-ый член. По словесному описанию последовательности это не совсем удобно, а по формуле - легко!

General
Мне кажется, то правило относительно последовательности, которое вы написали мне в ЛС, будет интересно всем:

"...собственно, относительно последовательности я думал, вполне логичны правила, действовавшие ещё в математическом марафоне. Если участник находит закон, описывающий члены последовательности, и этот закон отличается от загаданного автором, то это засчитывается за правильный ответ".

Я описала подробно построенную мной последовательность, даже с формулами  :) (отправила в личку).

Почти уверена в том, что это не та последовательность, которую имеете в виду вы. В этом заключается для меня интрига данной задачи!

Подождём 2 марта, когда вы нам откроете свою последовательность  :)

Спасибо, я как раз хотел продублировать. Ещё добавлю, что keit всего, по-моему, про последовательности было сказано в правилах Математического марафона, и этот подход я также предполагаю применять

Поменяйте лампочку, но руками не пользуйтесь. И почему я не удивлен...  :beer:

Надо пользоваться не руками, а головой - тогда и удивляться не придется. :beer:

даже Олимпиада отошла на задний план
весь математический мир ждет  2 марта

По количеству участников лидирует мой родной форум по Цивилизации (http://www.civfanatics.ru/forum)

Задача 6 с последовательностью оказалась самой сложной, судя по текущему объёму полученных сообщений. Поэтому прокомментирую прежде всего её.

Собственно, сама последовательность без всяких подвохов, правило чисто математическое. Сам вопрос можно сформулировать и так:
“У чисел из этой последовательности есть одно общее свойство. Продолжите её.”
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …

Принимая решения этой задачи, я стараюсь следовать духу математического марафона, в котором сам принимал участие. В частности: если у вас имеется последовательность из n членов и вы как общий закон её построения предлагаете многочлен степени n-1, такой ответ не может быть принят. Также не может быть принят метод нахождения n-1 разностей между соседними членами последовательности и зацикливание их.

По моему мнению, признаком того, что вы нашли правило, может служить тот факт, что это же правило могло дать нам меньшее число членов последовательности, а остальные члены используются для контроля правильности. Хорошее правило должно быть красивым. Если вы находите красивое правило, отличающееся от загаданного – оно оценится также в полные 7 баллов. Я готов к обсуждению.

По задаче 2 про сумму квадратов: вашим результатом должен быть метод, позволяющий отличить числа, представимые в виде суммы 5ти квадратов от остальных.

Ещё одно: некоторые товарищи порешали задачи, а в ЛС или на почту решения не высылают ;)

В любом случае, до 2 марта времени ещё полно, так что удачи всем!

Ага, это как раз тот метод, который я применила при построении последовательности. Поскольку так нельзя и потому решение моё неверное, я его покажу. Чтобы все знали, как не надо решать  :)

Я строю последовательность так:

5, 7, 11, 13, 15, 19, 21,
29, 31, 35, 37, 39, 43, 45,
53, 55, 59, 61, 63, 67, 69,
77, 79, 83, 85, 87, 91, 93, ...

Очевидно, что закономерность в этой последовательности имеется. Я даже написала формулы для всех членов последовательности для n = 0, 1, 2, 3, ....

Таких формул 7 - для 7 групп членов, которые циклически повторяются. Вот этих 7 формул:

a_7n+2 = a_7n+1 + 2
a_7n+3 = a_7n+2 +4
a_7n+4 = a_7n+3 + 2
a_7n+5 = a_7n+4 + 2
a_7n+6 = a_7n+5 + 4
a_7n+7 = a_7n+6 + 2
a_7n+8 = a_7n+7 + 8

При этом надо считать заданным только первый член последовательности a₁ = 5, он у нас и задан.

Никак не могу понять, почему так нельзя задать последовательность.

Кто-нибудь (кроме ведущего олимпиады) может объяснить, что так нельзя задавать последовательности  :)

Вроде как это уже не будет являться последовательностью, а просто набором чисел

А что тогда является последовательностью?

Я понимаю так: для любой последовательности должна быть задана формула (или формулы), позволяющие вычислить любой член последовательности.
Ещё бывают такие последовательности, в которых задаётся описание членов последовательности, например, последовательность простых чисел, последовательность чисел Смита. В этом случае общей формулы для членов последовательности нет.

на либра.ру ее решили/последовательность/

A можно маленький вопрос к задаче 5: в среднем это половина суммы
[минимум+максимум{возможных вариаций ходов}]??

Как среднее значение имеется в виду математическое ожидание количества ходов.

Открыл Решения задач олимпиады (http://intelmath.narod.ru/olymp1.html).
AlexAlkin, поздравляю!
То-то я думал, когда получил письмо, что где-то этот ник уже видел :)

General

Всё замечательно! Последовательность наконец-то увидела.
Но неужели вы просмотрели все последовательности в OEIS (более 170000), чтобы убедиться, что такой там нет?

Ещё маленькое замечание: список победителей у вас слишком большой. Победителей должно быть максимум трое  :)

square, так в OEIS же поиск есть, зачем всё просматривать?

Про поиск знаю  :)

Но ведь последовательность могла быть задана как-то иначе. Разве можно предусмотреть все способы задания?

Ну, так или иначе, последовательность вы загадали хорошую. Мне и в голову не пришло представить числа в другой системе счисления.