Форум умных людей

В этом топе предложу выложить ваши наблюдения в области чисел-степеней таких как  точные квадраты,кубы и т д.
Необычные комбинации и разложения вы можете без сомнений отправлять в этот топик..Буду рад пополнить коллекцию).
Данные и Диковинок чисел не предлагать).Можно в качестве примера предлагать несколько вариантов того или иного факта.Можно также побаловать интересными формулами касающихся степеней( в общем виде). :D ;)

Для начала напишу несколько из моих личных наблюдений- может они совпали с теми что уже были опубликованы на одном из форумов этого сайта-не проверял.

Свойство кубов:
1³=1
2³=3+5
3³=7+9+11
4³=13+15+17+19
5³=21+23+25+27+29
....................................................
n³=(n²-n+1) + (n²-n+3) + ....  +n²+n-1


Свойство квадратов:
1²=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
5²=1+3+5+7+9
.................................................
n²=1+3+5+...+2n-1


Ещё одно свойство квадратов
Вот пример(сам наткнулся):
1+2+3+4+5+(6)+5+4+3+2+1=36 = (6)²

Таким образом: n² = 1+2+...+ n-1 + n + n-1 +...+2+1  для любых натуральных n.

Очередь за вами)!
Удачи! :music: :rulez: :whiteflag: :good2: :wall:

3²=5²-4²
5²=13²-12²
7²=25²-24²
9²=41²-40²
и т.д.

Просто формула

21²=221²-220²

41²=841²-840²

61²=1861²-1860²

81²=3281²-3280²


и т. д. :)

76207893750952161²-76207893750952160²=123456789²

Ещё одно свойство квадратов
Вот пример(сам наткнулся):
1+2+3+4+5+(6)+5+4+3+2+1=36 = (6)2

Таким образом: n2 = 1+2+...+ n-1 + n + n-1 +...+2+1  для любых натуральных n.


перечитай Перельмана

кстати у него есть такое:

7³-6³ =   127
9³-8³  =  217
10³-9³ = 271
16³-15³=721

Здорово!
 
А я недавно читал про Рамануджана (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B4%D0%B6%D0%B0%D0%BD), про общую формулу корней
(http://upload.wikimedia.org/math/f/1/0/f1047a231cb448cd06e16578f8c410a8.png)

(http://upload.wikimedia.org/math/2/7/d/27d4e04bc98167c0eb52d0dd1d85c131.png)
(http://upload.wikimedia.org/math/d/9/d/d9d1c0b0f0ded56b9eae1e8fdf4c44f4.png)
(http://upload.wikimedia.org/math/2/f/0/2f0f62d6d8d30484a19d0129c7c5a9d7.png)
(http://upload.wikimedia.org/math/1/b/2/1b258c4033baa39006da6b17cff47732.png)

так,ТАК...коллекция пополняется@@)

Группировка натуральных чисел
Предположим, что натуральные числа разделены на группы следующим образом:


(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), ...
и что каждая вторая группа отброшена. Тогда сумма чисел в первых k оставшихся группах всегда равна k4 .
Например, для k = 3 имеем


1 + (4 + 5 + 6) + (11 + 12 + 13 + 14 + 15) = 81 = 3⁴

.

K-значное число называется числом Армстронга, если оно равно сумме k-ых степеней своих цифр. Например, 3-значное число 153 является числом Армстронга, так как:

153 = 1³ + 5³ + 3³

Найти все числа Армстронга от 3-значных до 9-значных.

Наличие нуля допустимо в числах Армстронга?

Допустимо. И повторение цифр тоже разрешается.

и гуглить нельзя?? :D

Трехзначные получились такие: 153, 307, 407, 945. Если конечно ничего не упустил. :read:

а 13 значное- слабо?? :)

Если есть, то за 10 минут найду. :)

время пошло :)

Погорячился. :)

13 значных нет
не переживай :)

Да-да 13 твое любимое. Наверное, первым делом проверил. :)

  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
3 3  153, 370, 371, 407 153, 370, 371, 407 
4 4  1634, 8208, 9474 1634, 8208, 9474 
5 5  54748, 92727, 93084 54748, 92727, 93084 
6 6  548834 548834 
7 7  1741725, 4210818, 9800817, 9926315 1741725, 4210818, 9800817, 9926315 
8 8  24678050, 24678051, 88593477 24678050, 24678051, 88593477 
9 9  146511208, 472335975, 534494836, 912985153 146511208, 472335975, 534494836, 912985153 
10 10  4679307774 4679307774 
11 11  32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914 
14 14  28116440335967 28116440335967 
16 16  4338281769391370, 4338281769391371 4338281769391370, 4338281769391371 
17 17  21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035 
19 19  1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826 
20 20  63105425988599693916 63105425988599693916 
21 21  128468643043731391252, 449177399146038697307 128468643043731391252, 449177399146038697307 
23 23  21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943 
24 24  174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093 
25 25  1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938 
27 27  121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765 
29 29  14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295 
31 31  1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915 
32 32  17333509997782249308725103962772 17333509997782249308725103962772 
33 33  186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991 
34 34  1122763285329372541592822900204593 1122763285329372541592822900204593 
35 35  12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922 
37 37  1219167219625434121569735803609966019 1219167219625434121569735803609966019 
38 38  12815792078366059955099770545296129367 12815792078366059955099770545296129367 
39 39  115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401 115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401 


вроде понять можно :beer:

Чёрт! Я вроде сегодня не пила. Почему у меня двоится?  :D

так скачивается :)

зато от 3х значных до 39и значных.

12  13  15  18  22  26  28  30 значных нет :)

а есть еще самовлюбленные числа/они покруче будут чисел Амстронга/ :)

Пифагоровы "тройки":

3² + 4² = 5²
33² + 44² = 55²
333² + 444² = 555²
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3...3² + 4...4² = 5...5²

Может быть, уже были?

Свойство: сумма квадратов первых n последовательных натуральных чисел всегда является полным квадратом.
Например:

1³ + 2³ = 3²
1³ + 2³ + 3³ = 6²
1³ + 2³ + 3³  + 4³ = 10²
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Доказать.

При этом интересно, что сумма оснований степеней слева равна основанию степени справа. Например, в последнем равенстве: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Свойства совершенных чисел
Совершенные числа, начиная со второго, можно разложить на сумму кубов последовательных нечетных чисел:

  28 = 1^3 + 3^3
  496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3
  8128 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3
 
и так далее.
Совершенное число можно представить в виде суммы последовательных степеней числа 2.
  6 = 2^1 + 2^2
  28 = 2^2 + 2^3 + 2^4
  496 = 2^4 + 2^5 + 2^6 +2^6 + 2^7 + 2^8
  8128 = 2^4 +...+ 2^12
  ...
 
Складывая цифры совершенного числа несколько раз можно получить единицу:
  28:   2 + 8 = 10; 1 + 0 = 1
  496:  4 + 9 + 6 = 19; 1 + 9 = 10; 1 + 0 = 1
  ...

По индукции.
Для М = 1 и 2 убедились: 1³ + 2³ = ((2*(2+1)/2)² = 3²
Пусть верно для М = К:
1³ + 2³ + ...+К³ = (К(К+1)/2)².
Тогда для К+1 имеем:
1³ + 2³ + ...+К³ + (К+1)³= (К(К+1)/2)²(К+1)³ =
= (К+1)² *((K/2)²  + K + 1) = (К+1)² *((K/2)²  + 2*(K/2) + 1) =
= (К+1)² *((K/2 + 1)² = (К+1)² *((K+2)/2)² = (((К+1)(К+2))/2)².