Форум умных людей

Я, конечно не Рамануджан, но достаточно повозился с А и вывел формулу...
Введём понятие А_К = кор(1 + (К+1)*(кор(1 + К+2)*кор(1+...))...
То есть А₁ = кор(1 + 2*(кор(1+3(1+...))... = наше А
А₂ = кор(1 + 3*(кор(1+4(1+...))...
и т.д.
Можно сказать, что А_К+1 > А_К.
С другой стороны:  А_К = кор(1+(К+1)А_К+1).
Возводя обе части в квадрат, получим:
А_К² = 1+(К+1)А_К+1
Деля обе части на А_К получим:
А_К = 1/А_К + (К+1)*А_К+1/А_К  (1)
Поскольку А_К+1 > А_К,
то А_К+1/А_К > 1 и: А_К > 1/А_К + (К+1)
С другой стороны, т.к 1/А_К << К+1, то можно сказать, что
А_К = (К+1) + Х, где Х << К+1 (при больших К)
Аналогично можно получить, что А_К+1 = (К+2) + ~Х, т.е.
А_К+1 =~ А_К + 1
Вернувшись к (1) получим:
А_К = 1/А_К + (К+1)*А_К+1/А_К =~
= 1/А_К + (К+1)*(А_К + 1)/А_К =
= 1/А_К + (К+1)(1 + 1/(К+1+Х)) = 1/А_К + К+1 + (К+1)/(К+1+Х) =
= К+1 + (К+1+Х-Х)/(К+1+Х) + 1/А_К = К+1 + 1 - Х/(К+1+Х) + 1/А_К =
= К+2 + (1/А_К - Х/(К+1+Х)).
1/А_К и Х/(К+1+Х оба << К+2 и одного порядка.
Поэтому можно сказать, что при больших К А_К = К+2.
Но теперь, вычисляя А_К-1 через А_К, мыполучим:
А_К-1² = 1 + К(К+2) = К² + 2К + 1 = (К+1)², откуда А_К-1 = К+1 и так для любого К
Следовательно, А₁ = 1+2 = 3. :)

---

Рассуждая по аналогии, можно получить выражение для чётных и нечётных:
АЧ_K = 2(К+1), АЧ₁ = 4.
АН_K = 2К+3, АН₁ = 5.
Но надо проверить. Я не проверял.