Форум умных людей

 а) На рисунке 1  плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из единичных квадратов. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?
рис.1 (http://i074.radikal.ru/1005/71/bb189519df8f.jpg) (http://www.radikal.ru)
б) На рисунке 2  плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное построение?
рис.2 (http://s06.radikal.ru/i179/1005/bf/a68203c3cd40.gif) (http://www.radikal.ru)

Примечание. В первой задаче количество цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). Во второй задаче вы без труда найдёте решения с одним цветом и с тремя цветами. Желательно дать полное решение задач, то есть описать все раскраски, удовлетворяющие указанным условиям. Подумайте, например, существует ли во второй задаче решение с тринадцатью цветами?

Вдруг:
a) Можно закрасить в n цветов, если n=x²+y².
б) Можно закрасить в n цветов, если n=x²+y²+xy. Тут я совсем не уверен, у нас не продают тетради в шестиугольнички и рисовать неудобно, да и 13 судя по тону задачи сделать нельзя, а у меня получается что можно: 13=1²+3²+1*3.

а) могу закрасить, например, в 14 цветов (14 не раскладывается в сумму 2 квадратов)

я неоднократно об этом жалел, даже специально распечатывал на принтере листики с такими  клеточками
на шестиугольниках можно придумать больше игр, чем на квадратиках

б) 13 можно

Квадраты для всех цветов получаются одного размера?

нет
этого же не требуется по условию

Электорат ждет комментов хотя бы по трактове условия, должны ли все квадраты/треугольники быть равны? :whiteflag:

должны