Форум умных людей

Найдите все натуральные m и n, для которых выполняется уравнение 5ⁿ = 2^m + 1

n = 1, m = 2 ;)

m=4k+2
дальше правая часть раскладывается на множители

Доказать единственность ?

Предлагаешь нам или хочешь привести свое доказательство? :)

Моя задача, твоё решение

Никто ?

Так CD_Eater же сказал всё

Полного решения нету

2ⁿ при нечётных  даёт остаток 2 при делении на 3
Значит n=2p и 2ⁿ=4^p

4^p при чётных p даёт остаток 1 при делении на 5, значит p = 2m+1

4^2m+1+1^2m=(4+1)(4^2m+4^2m-1+...+4+1) - второй множитель не делится на 5

не, не так  :)

Жестоко. А я по умолчанию верю всему, что пишет Генерал  :nyam:

я тоже верю когда молчу :)

Что, можно проще?

Ай, конечно же, там же чередование знаков будет

4^2m+1+1^2m+1=(4+1)(4^2m-4^2m-1+...+16-4+1) - подумаю, спасибо

такое разложение на множители (после исправления знаков) не решает задачу
есть другое разложение

А, вот как:

5ⁿ= 4^2m+1+1

Правая часть даёт остаток 2 при делении на 3. Значит n=2k+1

5^2k+1= 4^2m+1+1

Нечётные степени пятёрки могут оканчиваться на 3125 или 8125 (0125 не входит в период остатков и может быть рассмотрен отдельно).

Нечётные степени четвёрки не могут оканчиваться на 3124 или 8124

я намекал на разложение на множители выражения вида 4а⁴+1

 :bravo2: это С6 из ЕГЭ по математике для 11 класса