Форум умных людей

Два игрока играют в безобидную игру (то есть шансы на выигрыш одинаковы) и они договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра остановилась, до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл 5 партий, второй - 3). Как справедливо следует разделить приз? Большинство математиков (16-17в) считали, что в отношении 5:3, Тарталья считал, что 2:1, хотя Паскаль и Ферма установили, что 7:1. Кто из них прав? Почему?

зы: "слямзино" мной на arbuz'e, копирайта нет, так что выкладываю с чистой совестью :)

забыл сказать, что ответа у меня нет, только попытка разобраться в логике и вероятностях :roll:

Я бы вообще разделил выйграш 8:1.

Илья, а как рассуждал?

уважаемый Смит ,Ферма считается выдающимся математиком,хотя был юристом,если уж они не пришли к единому,нам будет трудно

Вероятность первого выйграть 0,5
Вероятность второго выйграть три игры подряд: 0,0625
0,5/0,0625=8
Это так - если по простому. :)

Как по мне, так Тарталья прав, т.е. 2:1 :)


Показать скрытый текст

старик, так ведь не столь интересно кто прав в конечном счете, сколько логика каждого, ведь от игроков там ничего не зависит, т.к. в условии сказано, что "шансы на выигрыш одинаковы" у обоих (условно говоря, они играют в "орлянку"). т.е. казалось бы, самый вероятный вариант окончания всего матча, состоись он в полном объеме, был бы 6:5 в чью-нибудь пользу.

Илья, логика понятна
а каковы Ваши рассуждения?

А где коммент моего ответа и рассуждения?(ответ номер 6)
Добавлю к тому, что я уже написал - выигрыш делим в соотвествии с окончательными шансами на выигрыш.

а мне кажется пополам

извините, просто не успеваю комментировать все ответы
кроме того, логику 2:1 я хоть и не склонен принять за окончательный ответ, но во всяком случае я ее понимаю.
я же пытался исходить из того, что чем больше повезло первому в сыгранной части матча, тем меньше повезет ему во второй (не сыгранной) если бы она все-же состоялась. но похоже большинство мнений, в том числе и Ваше, отличаются от моего.

Давайте разделим приз пропорционально вероятности его выиграть.
Они прекратили играть при счёте 5:3 в пользу первого.
Вероятность выигрыша приза 2-м игроком Р2 = р^(6-3), а первым игроком - Р1 = 1-Р2.
Здесь р - вероятность победы в одной игре и по условию р = 1/2.
Считаем: Р2 = (1/2)^3 = 1/8. Р1 = 1-1/8 = 7/8.
Поэтому и приз надо делить в отношении 7:1

делая серию из 10 бросков монеты мы вправе полагать, что распределение "орлы/решки" по окончании сессии будет стремиться к 5/5.
в данной же задаче к моменту окончания игры произведено 8 "бросков монеты", с распределением (например) 5о/3р. тогда логично предположить, что при следующих 2 бросках выпадут "решки", а т.к. вероятность получить "орла" или "решку" при 11-м броске у каждого одинакова, то тогда прав Мики, и распределять приз нужно в отношении 1:1.
с другой стороны, если за точку отсчета брать исключительно оставшиеся броски до получения заветных 6-ти выигрышей, отталкиваясь от ситуации 5/3 по очкам ("фора") - тогда вероятно правы VitBuk, buka со своей логикой и результатом 7:1, а также Паскаль и Ферма с тем же результатом, но неизвестной (мне) логикой.

зы: из тех соображений, что игра не доиграна я бы наверное озвучил лозунг "победила дружба" и поделил 1:1 (т.е. каждый остался при своих) :peace:

Smith, никогда не играйте в казино!!!
Ни в коем случае нельзя ставить вероятность будущего выигрыша с тем, что произошло до него!!! Масса мошенников и манипуляторов так или иначе навязывают эту "зависимость" своим жертвам. Причем порой делают это столь мастерски, что очень трудно засечь эту "зависимость" даже тем, кто прекрасно знает, что её нет.
Кстати, Смит, допустим, что монета бросается 1000 раз, какова вероятность "500/500"?
Вас это может удивить, но она близка к 0.

buka, что до казино - хоть это и более сложный случай, я понимаю и разделяю ваши опасения. вот что до орлянки - здесь другое. понятно, что предыдущие результаты напрямую не влияют на результат конкретного (следующего) результата. но если говорить о длительной серии из пусть даже 1000 бросков, то вероятность получить 999/1 стремится к нулю, а вероятность получить 500/500 - нет. полагаю будет что-нибудь близкое к 400< -  600>

Тем не менее, Смит, если Вы бросали монету 999 раз и всё время выпадали решки, то какова вероятность выпадения орла на 1000-ый раз?
Если исходить из прагматических соображений, а не из теории вероятности, то я бы сказал, что вероятность выпадения орла близка к нулю, поскольку монетка с "хитрецой" и орлом просто не падает, или падает чрезвычайно редко.
Если же исходить из теории вероятности (вернее допущения о том, что монетка идеальна) - то вероятность равна 1/2.
Но ни в коем случае она не может быть больше 1/2 из-за того, что до того 999 раз выпадала решка...
Это надо твёрдо усвоить.

buka, кажется где-то в казино зафиксировано максимум подряд идущих чего-то там что-то около двух десятков, так что ваша монета действительно мягко говоря "необычная". кроме того, вы можете бросать монету десятки и сотни тысяч раз, но получите не более 5-6 серий с повторениями около 10 орлов/решек.. но это всё скорее лирическое отстуаление.
что касается вероятности - так я нигде и не утверждал что будет "больше 1/2", но то, что система при возрастающей (большой и очень большой) выборке будет стремиться к равновесию - это я утверждаю. вы можете называть это теорвером, везением/невезением, статистикой - как угодно, но принебрегать этим знанием имхо неправильно.
вы в данной задаче (парадоксе) этим "знанием" принебрегли, и это понятно (при такой-то выборке). я же пытался рассмотреть вопрос несколько шире
 

Как раз наоборот, Смит. Этим знанием я не пренебрёг. Именно благодаря этому знанию, я решил, что когда идёт подозрительно длинная серия, это говорит о том, что в системе имеется сильная неслучайная составляющая, именно это я и называл "монета с хитрецой".
Но суть не в этом. Надо не только иметь знания, надо также иметь знания как пользоваться имением знаний.
Если у нас серия из 2К бросков и после М бросков у нас счёт А:М-А, ожидать, что к концу будет К:К НЕЛЬЗЯ если Вас спросят, чего ожидать к концу, если после М бросков у нас А:М-А, надо отвечать так:
а) следует ожидать (К+А-М/2) : (К-А+М/2) если вероятности исходов при броске известны и равны 1/2 или:
б)А:М-А, если вероятности исходов неизвестны.
В случае а) мы ожидаем называемого Вами равновесия в серии 2К-М бросков.
В случае б) мы полагаем, что А:М-А и представляет это равновесие и мы ожидаем такого же равновесия в серии 2К-М бросков.

Разделяю мнение Буки и Ферма! :D

При счете 5:3 для однозначного определения победителя потребуется сыграть ровно три партии: либо все три партии выиграет второй игрок, и тогда он победит в общем зачете, либо одна из партий будет выиграна первым игроком — тогда выигрывает первый.

По сути, можно рассмотреть новую игру: участвую два игрока A (орел) и B (решка). B выигрывает только в том случае, если три раза подряд выпадает решка. Вероятность такого события при качественной монете — 1/8. Вероятность выигрыша A, соответственно, — 7/8.

Т.е. средний выигрыш игрока A в семь раз больше среднего выигрыша игрока B.

А вообще, если ставки не слишком большие, то им есть смысл взять все деньги и пойти вкусно их проесть вместе! :D

Точно не 5:3...потому что у первого игрока выиграть весь приз шансов гораздо больше, чем у второго...
И мало вероятно 2:1...потому что у них шансов выиграть весь приз не относятся 2:1...
я думаю, что будет правильно 7:1...

Если вероятность выиграть второго 0,0625 - то вероятность выиграть первого не может быть 0,5 , так как сумма вероятностей выигрыша должна быть 1.
На самом деле вероятность выиграть второго 0,125 (0,5 * 0,5 *0,5), а первого - соответственно 0,875, так что ставку надо разделить 0,875 . 0,125 = 7:1 (это было уже обьяснено).

Спасиба, что еще раз объяснили. :)