Форум умных людей

Задача Е(Э)йлера (розв'язана на олімпіаді / решена на олимпиаде)

В оригинале на украинском:

Знайдіть всі раціональні невід’ємні числа, що задовольняють рівнянню: x^y=y^x

Перевод на русский:

Найдите все рациональные положительные числа, удовлетворяющие уравнению: x^y=y^x

xєQ, yєQ, x<>y

Ты забыл добавить, что X<>Y
Показать скрытый текст

 :o :o :o

MagTux, верно, но это всего лишь частный случай. Подсказка. По условию задачи нужно найти такие выражение для X и для Y, выраженные через целые числа (покопайтесь в свойствах рациональных), которые опишут все возможные положительные рациональные числа, удовлетворяющие уравнению.

Согласен. Нашёл решение этой задачи в интернете. Это олимпиадная задача.

P.S. Естественно я пас. Я знаю решение.

...Интересно, можно ли рациональное выразить через другое рациональное...

Это вопрос или подсказка?

подсказка...
с решением:
Показать скрытый текст

Мне так понятнее
(http://img245.imageshack.us/img245/7213/20862873.jpg)
И кстати в конце твоего решения k не обязательно целое, но тогда k>0 или k<-1.

Двое рассказали решение, и у обоих оно неполное  :)
Вот например Magtux выразил оба искомых рациональных числа x,y через третье рациональное число n
Однако очевидно, что не всякое рациональное n даст решение.

Например какое? [n>0 или n<-1]

например, при n=1/2 не получится рациональных x,y

По-моему, под буквой n подразумевается целое число. Или я не прав?

k было произвольным рациональным положительным числом
n определялось как 1/(k-1), поэтому тоже может быть произвольным положительным рациональным числом (и даже немного отрицательным)
Про то, что n целое, мактух не говорил

Да, действительно рациональные не получаются.
Тогда всё-таки целые.

А моё решение годится для всех вещественных x и y.

а такое


2⁵ + 2⁷ + 2⁹ + 5³ + 5⁴ = 5² + 7² + 9² + 3⁵ + 4⁵