Форум умных людей

Можно ли на тетрадном листе в клетку выбрать пять узлов (точек пересечения линий клеток) так, чтобы отрезки, которые соединяют эти узлы, не проходили через другие узлы листа?

Дай догадаюсь, нужно с доказательством)))

Я думаю, что нельзя, но доказательство еще не придумал.

Думай )))

Придумал:
Отрезок АВ не будет проходить через узлы в том и только в том случае, если (х1-х2) и (у1-у2) - взаимно простые числа, где (х1;у1) - координаты точки А, (х2;у2) - координаты точки В.
Первую точку поставим в точку (0;0), остальные четыре точки соответственно в точки (х1;у1), (х2;у2), (х3;у3) и (х4;у4).
Получаем десять пар чисел, которые должны быть простыми:
х1 у1
х2 у2
х3 у3
х4 у4
х1-х2 у1-у2
х1-х3 у1-у3
х1-х4 у1-у4
х2-х3 у2-у3
х2-х4 у2-у4
х3-х4 у3-у4
Чтобы числа были взаимно простыми необходимо, чтобы хотя бы одно из чисел было нечетным. Существует всего 3 варианта такого распределения:
НН ЧН НЧ
Соответственно, в одной из первых 4 пар хотя бы одна из этих комбинаций повторится по меньшей мере 2 раза. А это значит, что по крайней мере в одной паре из 6 последующих оба числа будут четными, т.е. не будут взаимно простыми.
Получаем, что такое расположение точек невозможно.

Не совсем понял это утверждение. Поясни.

Приведу пример.
Координаты точки А - (3;4), координаты точки В - (7;10). Отрезок, соединяющий эти точки, будет проходить через узел, так как 7-3=4 и 10-4=6 - числа не взаимно простые. А если бы ордината точки А была бы 3, то отрезок не проходил бы через узел, т.к. 7-3=4 и 10-3=7 - числа взаимно простые

Перефразирую:
Дан отрезок АВ. (х1;у1) - координаты точки А, (х2;у2) - координаты точки В.
(х1-х2) и (у1-у2) - взаимно простые числа.
Доказать, что отрезок AB не проходит через узлы клеток.

Т.е. типа я не верю. Есть теоремы, подтверждающие это?

Я уже понял. Просто ты так запутал.
Начал со взаимнопростых, а закончил тем, что достаточно было доказать равенство чётностей координат двух узлов.
Если упростить твоё доказательство, то получится так:

Все узлы листа имеют целочисленные координаты.
Существует четыре группы чётности координат узлов:
1) (чет, чет)
2) (чет, нечет)
3) (нечет, чет)
4) (нечет, нечет)
Как минимум два узла из пяти имеют одинаковую чётность координат.
Пусть (x1, y1) и (x2, y2) - два узла с одинаковой чётностью координат. Середина отрезка, соединяющего эти два узла, имеет координаты ([(x1+x2)/ 2], [(y1+y2)/ 2]), которые являются целыми числами в силу одинаковой чётности x1 и x2, y1 и y2. Таким образом, середина этого отрезка лежит в узле сетки.

Теорему, естественно, не знаю. Но доказать могу.
Построим прямоугольник ABCD, в котором разности координат точек А и С (да, понять можно двояко, но, я думаю, все поймут правильно и придираться не будут) - взаимно простые числа. Это значит, что длина и ширина этого прямоугольника - взаимно простые числа. Предположим, что на диагонали АС нашлась такая точка Е, что в прямоугольнике AFEG AF и FE - отрезки с длиной, выраженной целым числом. Углы BAC и FAE совпадают (по построению), углы ABC и AFE - прямые (как углы прямоугольника). Получаем, что треугольники ABC и AFE - подобные. Соответственно, AB/AF=BC/FE=m/n (m/n - несократимая дробь, m, n - натуральные числа, m>n). Получаем, что АВ и ВС делятся на m, причем m>=2, что противоречит условию о том, что они взаимно простые.

Ты бы так сразу и написал: докажи. А то "не понял"... :)

MagTux, я в восьмом классе учусь, поэтому не знаю, как найти координаты середины отрезка по его концам. Чем больше знаешь, тем проще решение))

Правильное решение хоть? Если правильное, то приведи свое (если оно отличается, конечно)

Решение правильное и я его уже написал )))

Я молодец) :cool3: :cool3: :cool3: