Форум умных людей

Сложная задача на прогрессии. Есть геометрическая прогрессия, могут ли любых 4 члена этой прогрессии образовывать арифметическую. (Кроме тривиальных случаев, когда знаменатель равен +-1, 0). Ответ я знаю, но нужны док-ва.

Любые 4 ( не подряд ) - я бы сказал да, но как-то сомневаюсь ))

А мне кажется, что если разность арифметической прогрессии не равна 0, то это невозможно.

надо сначала решить задачу для 3 чисел, дальше уже очевидно

ну для трёх чисел - возможно, а вот для четырёх, нет.

Могу начать

Пусть а, аз^б, аз^в, аз^г - члены геометрической прогрессии со знаменателем з, которые образуют арифметическую прогрессию с шагом ш.

ш=аз^б-а
ш=(аз^в-а)/2
ш=(аз^г-а)/3

аз^б-а=(аз^в-а)/2
2з^б-з^в=1 [если это уравнение имеет целочисленные решения, то 3 члена прогрессии составляют арифметическую]

аз^б-а=(аз^г-а)/3
3з^б-з^г=2 [если это уравнение в системе с предыдущим имеет целочисленные решения, то 4 члена прогрессии составляют арифметическую]

Что делать с этим дальше, я не знаю. Это диофантовы уравнения, с решением которых я не знаком.

Я бы пошёл от арифметической к геометрической:
a, a+d, a+2d - арифметическая
(a+d)² = a(a+2d) - свойство геометрической

Отсюда d=0

Генерал, а всегда ли члены геометрической прогрессии будут монотонной последовательностью?  ;)

насчёт "очевидно" я ошибся
не знаю как решать для 4 чисел

Так монотонность я и не использую, просто основное свойство геометрической прогрессии, которое верно для любого знаменателя

Аа, так имеется в виду, что они могут быть не последовательными?!

Что значит "образовывать арифметическую прогрессию"? Что существует арифметическая прогрессия, среди членов которой будут эти 4 числа, или что разности эти 4 числа являются 4мя последовательными членами арифметической прогрессии?

Насколько я понял, в геометрической - любые, в арифметической - последовательные.

А сама геометрическая прогрессия - она конечна или бесконечна?

Я думаю, конечные, но конец не определен. То есть бесконечность использовать нельзя.

Аа, намёк понял :)

К тому, что может быть
(a)² = (a+d)(a+2d)
и
(a+2d)² = a(a+d) - свойство геометрической

Ну если решать в формулировке "бесконечная Г.П." и "4 последовательных члена А.П.", то:

Пусть 4 члена Г.П. формируют А.П. a₁, a₂, a₃, a₄. рассмотрим 4 числа a₁, a₂, a₃, a₅. Тогда для a₅ существует всего 2 различных значения (или допускается, что некоторые из чисел а совпадают? Ладно, тогда 5 различных значений). В любом случае, из-за ограниченного количества возможных значения для членов Г.П, её знаменатель 0, 1 или -1

Это почему?

Генерал, проще говоря, последовательность -2, 1, 4 является и арифметической, и геометрической прогрессией

Нет, не может ГП иметь 4 члена, совпадающими с АП.
Если ГП имеет положительный член, то только 2 члена могут совпадать, что итак очевидно, если отрицательный - то максимум - 3.
Для полжительного члена - вообще очевидно: АП - точки на прямой, ГП - точки на экспоненте, прямая может пересечь экспоненту в 2-х точках.
Для отрицательного члена надо рассматривать 2 экспоненты. Прямая может пересечь одну - в двух точках, а другую - в одной...

О, а что если знаменатель комплексный?

И опять-таки, лучше бы топикстартер уточнил формулировку.

"могут ли любых 4 члена этой прогрессии образовывать арифметическую" означает, что какие бы 4 члена г.п. мы не взяли, они образуют а.п. или что существуют такие 4 члена г.п., которые образуют а.п.?

По-моему, очевидно, что имеется ввиду "существуют такие 4 члена г.п., которые образуют а.п.".

да, существуют такие 4 члена г.п., которые образуют а.п