Форум умных людей

Эти две задачи я не смог решить :wall: на городской олимпиаде по математике. Объясните! :tormoz:

1. Докажите неравенство:
/x/+/z/<=/x+z-y/+0.5(/x+y-z/+/y+z-x/)
( / - модуль)

2. Внутри прямого угла с вершиной О отмечена точка С, а на сторонах угла отмечены точки А и В, причем точка С не лежит на прямой АВ. Докажите, что периметр треугольника АВС больше, чем удвоенный отрезок ОС.

 :help: :help: :help:

Что за наезды на гуманитариев?

Да?!

Лев, эт не наезд. Это я про то, что я занимаю места в олимпиадах по гуманитарным предметам, а по математике не могу ничего решить. Хотя сам считаю себя далеко не гуманитарием.

Ты знаешь, когда я сдавала выпускные экзамены, у меня за егэ по математике был высший балл по городу(!), хотя математиком я себя никогда не считала ;D

Так у тебя, наверное, не только по математике был высший балл

Неа :) русский у меня был 72 балла из 100 (а у нас многие на 100 сдали) - и то основная часть из них была за сочинение, а половину заданий из части а и б я вообще не поняла :D

Задача 2. У меня  решение скорее логическое чем геометрическое.
Предположим, что точка С лежит на прямой АВ, тогда периметр треугольника АВС = 2*АВ. Отрезок ОС будет наибольшей длины  если он совпадет с катет треугольника ОАВ (с самым длинным соответственно). Т.к. АВ гипотенуза, а ОС один из катетов, то 2*АВ > 2*ОС. Теперь переносим точку С произвольно во внутрь треугольника ОАВ, при этом отрезок ОС уменьшается, где бы он не находился, а периметр треугольника АВС растет, так как угол АСВ увеличивается. Соответственно неравенство 2*АВ > 2*ОС остается верным, где С находится на любой точке как на самом треугольнике так и внутри него.

Это понятно, если бы было указано, что точка С находится в треугольнике АВО

если точка не внутри треугольника соответственно, она может находиться очень далеко от отрезка АВ, следовательно нельзя доказать что 2*АВ > 2*ОС, так как само ОС может быть много больше 2*АВ.

Так и периметр треугольника будет куда больше, чем 2*АВ

Не покажешь? :show_heart:

согласен, не учел...

Убейте меня...

Если я ляпнула что-то глупое, то прошу прощения.. :'(

Не, все хорошо :show_heart:
Просто я себе не представляю свойства вписанной и описанной окружностей :D

но эти свойства есть :)

Надо только придумать куда ту окружность вписать, а откуда выписать...

Если описать окружность вокруг тр-ка ABO и выбрать точку С на этой окружности, то легко доказывается, что когда точка С лежит на лучах угла, то периметр тр-ка ABC минимальный и равен 4R, а когда точка С лежит на биссектрисе прямого угла, то периметр максимальный и равен около 4,8R. А максимальная длина отрезка OC равна 2R.
2*max(OC)=min(P(ABC))
[удвоенная максимальная длина отрезка ОС равна минимальному периметру тр-ка ABC]

А вот теперь надо расширить это доказательство за пределы окружности.

А если просто представить прямой угол как систему координат с началом отсчета в точке О(0,0).
Тогда точка А к примеру лежит на горизонтальной оси и А(Xa,0) , т.В на вертикальной оси с координатами В(0,Yb). Точка С где-то и с координатами С(Xc,Yc).

Тогда длина ОС = sqrt (Xc^2  +   Yc^2) , где sqrt - корень
Длина АВ = sqrt (Xa^2  +   Yb^2)
Длина ВС = sqrt (Xc^2   +   (Yc - Yb)^2)
Длина AС = sqrt ((Xc - Xa)^2   +   Yc^2)

А потом долго упрощать или усложнять (как получится) неравенство и авось в конце появится свет ..

Такую фигню я тоже делал.

2.
(http://savepic.net/415348m.jpg) (http://savepic.net/415348.htm)

P_{ABC}=|CB|+|BA|+|AC|=|CB|+|BA1|+|A1C1|=|CB|+|BA1|+|A1C2|>=|CC2|=2|OC|

1) /x/+/z/<=/x+z-y/+0.5(/x+y-z/+/y+z-x/)

Используемся свойством модуля |a+b|<=|a|+|b|

|x|+|z|=|0.5(x+z-y)+0.5(x+y-z)| + |0.5(x+z-y)+0.5(y+z-x)| <= (|0.5(x+z-y)| + |0.5(x+y-z)|) + (|0.5(x+z-y)| + |0.5(y+z-x)|) = 0.5|x+z-y| + 0.5|x+y-z| + 0.5|x+z-y| +0.5|y+z-x| = |x+z-y| + 0.5(|x+y-z| + |y+z-x|)