Форум умных людей

Два кубика с цифрами от 1 до 6. Чему равна вероятность получить сумму ровно 101 при нескольких бросках двух кубиков одновременно?

броски:
если при минимуме бросков, то бросаем кубики 9 раз.. при этом 16 раз выпали все 6 и один раз (1,4 или 2,3)
но есть же еще и варианты, что мы бросали большее количество раз... и их вероятность надо приплюсовывать, так?

Так просто считать очень нудно и муторно... А в чём фишка?

    23332807968278042259341308510960904430945596638576435328945697702687096283165
 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 163329655875017726524172566789514455134285927618238717885767991592374285369344


или если приблизительно, то

0,1428571427722388

это у вас такое чувство юмора своеобразное или лень отсутствует напрочь? :pinkgirl:

Лень отсутствует напрочь

Лень присутствует и в больших количествах. А это я посчитал с помощью компьютерной алгебры maxima за 2 минуты.

Кстати, число очень близко к 1/7. Так что можно предположить что предельная вероятность именно 1/7

могу только молча поапплодировать: :bravo:

А сама между аплодисментами покрикиваешь "Браво!" :D

это не я - это болтливый смайлик :yesgirl:

Предельная вероятность будет именно 1/7.

Обозначим предельную вероятность p. То есть P(n)=p. Тогда P(n-1)=p, ... , P(n-12)=p

Найдём вероятность того, что число n не выпадет. Для этого найдём вероятность что оно не выпадет при условии что выпало число n-k

n-1 :36/36
n-2 :35/36
n-3 :33/36
n-4 :30/36
n-5 :26/36
n-6 :21/36
n-7 :15/36
n-8 :10/36
n-9 :6/36
n-10:3/36
n-11:1/36
n-12:0/36

P'(n)=36/36*p+35/36*p+...+1/36*p+0/36*p = 216/36*p=6p

С другой стороны P'(n)=1-p. Получаем равенство

1-p=6p
Откуда p=1/7

Логично, но почему все вероятности равны?

Это не вероятность какого-то конкретного числа. А предельная вероятность, тоесть
я переобозначил за P(n)
P(n)=lim   P(n)=p
         n->бесконечность

Логично, что и

P(n-1) =lim P(n-1)  =p
           n->бесконечност

А-а, понял)

Все это верно при условии, что предел действительно существует. Это еще надо посмотреть…

ну во всяком случае P(101) достаточно близкое к 1/7, а P(200) ещё ближе

Прекрасный подход, жму руку.
Он базируется на том, что с увеличением n  P(n+1) -> P(n).
Думаю, что это можно доказать по индукции, доказав, что при любом n P(n+1) > P(n), проверив это на первых 12 n (1...12), предположив справедливость для первых к (к>12) и получив,
что Р(к+1) > P(к).
Но у меня есть замечание по таблице:
n-1 :36/36
n-2 :35/36
n-3 :33/36
n-4 :30/36
n-5 :26/36
n-6 :21/36
n-7 :15/36
n-8 :10/36
n-9 :6/36
n-10:3/36
n-11:1/36
n-12:0/36
У Вас везде в знаменателе фигурирует 36, значит Вы отличаете 1,2 от 2,1.
Но тогда, во-первых, Р(n-3) = 34/36 а не 33/36 и P(n-2) = 34/36 а не 35/36 -> Вы должны  1,1 засчитывать дважды.
А во-вторых, почему знаменатель равен 36 всё-таки. Для P(n-9), например, требуется учесть и порядок при выбрасывании внутри пары и между парами.
Я не проверял, может Вы это учитываете, но как получилось 36 в знаменателе?

Всего 36 состояний у двух кубиков. Можно даже перечислить.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Что касается P(n-3), из 36 комбинаций кубиков я вычитываю кобинации которые в сумме с n-3 дают число <= n. Таких комбинаций 3
(1,1): n-3+2=n-1
(1,2): n-3+3=n
(2,1): n-3+3=n

36-3=33

А про сходимость тут немножко сложнее, так как последовательность P(n) не монотонная, поэтому просто так это не доказать

Я не учитываю перходы между числами n-k, например (n-9) ->(n-5),  потому что эти переходы уже заложены в вероятность выпадания числа (n-5)

zhekas, мне кажется удалось доказать сходимость.
Пусть р - наша искомая вероятность P(n), а вероятности P(n-1), P(n-2) и т.д. будем представлять в виде:  р + x(n-1), p + x(n-2) и так далее,
 где х(n-к) может быть как положительным так и отрицательным.
Пусть Х = max(|x(n-k)|). T.е Х - это максимальное по абсолютной величине отклонение от р.
Тогда вместо уравнения запишем два неравенства, где вместо P(n-к) будут фигурировать сначала р+X, а затем p-X:
1-р > 6р - 6Х (1)
1-р < 6р + 6Х (2)
Получим: 1/7 - (6/7)*Х < р < 1/7 + (6/7)*Х
Отсюда следует, что с возрастанием n гарантированно уменьшается отклонение от 1/7, т.е. для следующей группы из 12 последовательных чисел отклонение как минимум в 6/7 раза меньше.

данную последовательность можно также записать с помощью линейно рекуррентного оператора

X_n=A*X_{n-1}

где матрица A имеет вид
0  1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
1    0     0      0      0      0      0      0      0      0      0      0
0    1     0      0      0      0      0      0      0      0      0      0
0    0     1      0      0      0      0      0      0      0      0      0
0    0     0      1      0      0      0      0      0      0      0      0
0    0     0      0      1      0      0      0      0      0      0      0
0    0     0      0      0      1      0      0      0      0      0      0
0    0     0      0      0      0      1      0      0      0      0      0
0    0     0      0      0      0      0      1      0      0      0      0
0    0     0      0      0      0      0      0      1      0      0      0
0    0     0      0      0      0      0      0      0      1      0      0
0    0     0      0      0      0      0      0      0      0      1      0

а X_0 имеет вид

1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

данная матрица - матрица Лесли. Её максимальное собственное значение равно 1. А значит последовательность векторов X_n сходится при n->бесконечности.

А к какому вектору мы уже знаем

1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7

Решение такое:
Cреднее кол-во очков на двух кубиках = 7. Значит для выбрасывания двумя кубиками n очков в среднем будет совершено n/7 бросков. Соответственно, вероятность набора произвольного числа очков будет стремиться к (n/7)/n = 1/7. И для n=101 тоже, но чем больше число n, тем ближе вероятность будет стремиться к 1/7.