Форум умных людей

1) Вычислите        (http://mathurl.com/6ctp4tb.png)

2) Докажите, что для любого натурального ненулевого числа n, число E является квадратом натурального числа:
   (http://mathurl.com/46o3ean.png)

3) Пусть задана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Плоскость пересекает рёбра (SA), (SB), (SC), (SD) в точках M, N, P, Q соответственно. Если сумма площадей треугольников SMN и SPQ  равна сумме площадей треугольников SNP и SQM, докажите , что диагонали четырёхугольника MNPQ перпендикулярны, а MN = MQ и PN = PQ.

4) Найдите все первообразные функции     
(http://mathurl.com/4oyfx53.png)             (http://mathurl.com/4fygnxp.png)

5) Вычислите определённый интеграл

               (http://mathurl.com/465cmbo.png)

6) Пусть (http://mathurl.com/4zlvv38.png)Найдите все первообразные функции
             (http://mathurl.com/4vtgosg.png)

7) Основанием тетраэдра ABCD является равносторонний треугольник ABC, а точка О плоскости (АВС) является основанием высоты тетраэдра, проведённой из вершины D. Известно, что объём тетраэдра равен V и выполняются следующие соотношения : (http://mathurl.com/66snwd8.png)


8.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций (http://mathurl.com/4kpfrwp.png) и  прямыми, задающими область их определения.

9) Доказать существование и найти число, кратное числу 2011 и имеющее ровно 2011 натуральных делителей.

10) Дан куб и точка принадлежащая его внутренней области, которую соединили с двумя рядом стоящими вершинами, притом получили тупой угол (http://mathurl.com/4jzgepk.png).
      Докажите, что при соединении данной точки с оставшимися двумя рядом стоящими вершинами, получим равносторонний треугольник.
                     (http://s43.radikal.ru/i099/1103/02/94accc7e9323.jpg)
   

9) 2^2010

Кратно 2011 ?

ну тогда
2011^2010

2^1004*2011^2
У меня меньше))

в данном числе
(1004+1)*(2+1)=3015 делителей

Как вы решаете*?

Так...
Число с 2011 делителями - квадрат числа с 1006 делителями, так?

А, вот моя ошибка.
Ну тогда да, такое число одно.

Хотя почему ошибка?
2^502*2011 имеет (502+1)(1+1)=1006 делителей. Его квадрат - 2011

Ах черт) Тут так не прокатывает))

Опять согласен))

2) Это  E=2²ⁿ
2²ⁿ=(1+1)²ⁿ=1+C_2n¹+C_2n²+...+C_2n^2n-1+C_2n²ⁿ
Покажем, что C_2n^2k-1+C_2n^2k=C_2n^2k-1/k*(2n+1)/2
C_2n^2k-1+C_2n^2k=C_2n^2k-1/k*(k+k*(2n-2k+1)/2k)=C_2n^2k-1/k*(2n+1)/2
Значит, (1+1)²ⁿ=1+(2n+1)/2(C_2n¹+C_2n³/2+C_2n⁵/3+...+C_2n^2n-1/n)

5)
(http://mathurl.com/4jdeaks.png)