Форум умных людей

Дана последовательность a_n определяющаяся следующим образом
a₁=20
a₂=30
a_n+1=3a_n - a_n-1

Найти всевозможные n, при котором число
5*(a_n)*(a_n+1) +1

является  квадратом натурального числа

a_k = 10*(F_2k-F_2k-4)
блин, для фибоначей столько тождеств...
раскрывая "квадрат", запутаться можно

  Если требуется найти хотя бы одно такое n, то n=3 подходит. a₃=70, a₄=180, 5*a₃*a₄+1=63001=251².

найти все возможные n

  Наверное, других нет. Но это, конечно, нужно доказать.

 Только n=3.  Сначала доказываем, что a_n+1=10*(aⁿ+bⁿ), где a=(3+\sqrt{5})/2, b=(3-\sqrt{5})/2. Применяя это представление и факты a+b=3, a*b=1, доказываем, что 5*a_n*a_n+1+1=(a_n+a_n+1)^2+501. После небольшой проверки убеждаемся, что n=3 это единственное решение.