Форум умных людей

В общем-то, эту задачку я планирую решить самостоятельно. Но пока на это нет времени, так что пущай будет в этом разделе. Кто меня опередит - тому конфету чупа-чупс.

Задача:
Можно ли выбрать на плоскости бесконечное множество точек общего положения так, чтобы треугольник с вершинами в любых трёх из них имел целую площадь?
Напоминаю, что точками общего положения на плоскости называются такие точки, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Кхм... что-то я последние мозги уже пропил. Задача-то очевидная.

***

Сам запостил, сам решил. Сам с собою побеседовал. Вопрос: к чему мне вообще форум?

***

С другой стороны, вопрос можно поставить более широко: к чему всё это?

Незачем, Ты просто гений :)

Неа. Гений - это 10% таланта и 90% упорства. А у меня 90% рас3.1415926здяйства =)

Пусть точки P, Q и - R середины сторон правильного треугольника
ABC. Дана некоторая точка M внутри треугольника. Эту точку отражают симметрично относительно точки P, затем уже получившуюся точку отражают симметрично относительно точки Q и, наконец, получившуюся точку отражают симметрично относительно точки R. Затем снова получившуюся точку отражают симметрично относительно точки P и т.д. Эту операцию проделывают 2011 раз. Сколько среди всех получившихся точек, расположены внутри треугольника?

Через каждые шесть отражений точка будет попадать на исходную позицию

Чёрт... Действительно. Надо завязывать с зелёным, определённо.

Еще раз прикинул, вроде бы во всех случаях первые пять точек снаружи, а шестая - на исходной позиции. И траектория многократно повторяется и похожа на пятиконечную звезду.

Тогда получается, что внутри одна точка. А если считать попадание на ту же точку как новую точку, то внутри точек будет 335.

Доказать не знаю как, но это  - правильный ответ?

Доказать можно, как я изначально и говорил: рассматриваем систему отсчёта, связанную с точкой, а не треугольником.

можно расположить на параболе y=2x^2. все точки с целыми x будут удовлетворять условию. кажется y=x^2 тоже подойдет.

то что после 6 отражений точка возвращается на своё место доказывается очень просто.
пусть начальные координаты точки которая отражается (x,y), а точек относительно которых она отражается (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). координаты точки будут меняться так:
(2x1-x,2y1-y)
(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y)
(2x3-2x2+2x1-x,2y3-2y2+2y1-y)
(-2x3+2x2+x,-2y3+2y2+y)
(2x3-x,2y3-y)
(x,y) 

если точка отражается относительно середин сторон равностороннего треугольника легко доказывается что после первых трёх отражений она внутрь треугольника попасть не может, а следовательно и после 4 и 5 не может.
6 отражение это 1 наоборот относительно(x3,y3)  и т.д.

А вот если отражать точку последовательно от сторон правильного треугольника / или от их продолжений/ , то она точно будет уходить все дальше и дальше...
Интересно, можно ли посчитать насколько она удалится от старта скажем, через 100 отражений?

да всё ещё проще
можно взять множество целых точек с чётной суммой координат

и никакие три из них не будут лежать на одной прямой?

понял.
сначала подумал про ВСЕ точки с чётной суммой координат.

Тьфу, задумался о своём. Короче, любое подмножество точек общего положения из этого множества.

(P- AB, Q - AC, R - BC)
Точка М принадлежит обласи, с границами ABC, после отражения через точку Р, область отразится от AB, получится такойже треугольник с общей стороной АВ, отразившись от Q, получим треугольник с общей точкой С, далее от R, треугольник с общей точкой В, от Р - с общей точкой А, от Q - с общей стороной ВС, от R - область ВЕРНЕТСЯ НА МЕСТО.
 Значит, после каждого 6го отражения точка возвращается домой.

ответ -  2011 / 6 = 335

а как картинки добавлять? ))

[ img] ссылка на картинку [ /img]

пробелы все убрать

[ img]D:\12.jpg[ /img] :wall:

(http://savepic.net/1519033.jpg)