Форум умных людей

Можно ли на прямой отметить такое бесконечное множество точек, чтобы никакие два различных отрезка с концами в этих точках не были соизмеримы? Скажу по секрету: можно. Задача же состоит в том, чтобы привести конкретный пример.

Да, интересный вопрос, который я для себя ещё не решил: может ли это множество иметь мощность континуум? Это уже не для школьников.

первое что пришло в голову: квадратные корни из простых чисел.
или корни степени P из 2, где P-простое число.

таки да, совершенно верно
а доказать?)

лучше взять логарифмы простых чисел.
(ln(p1)-ln(p2))/(ln(q1)-ln(q2))=r, p1>p2, q1>q2
ln(p1/p2)=r*ln(q1/q2)
p1/p2=(q1/q2)^r
если r рациональное =m/n то (p1/p2)^n=(q1/q2)^m
p1^n*q2^m=q1^m*p2^n
т.к. или p1<>q1 или p2<>q2 то равенство невозможно.

хитёр) а что насчёт континуального множества?

Допустим что такое множество M существует. Тогда есть хотя бы один интервал (a;b) такой что лишь счетное множество его точек не принадлежит M. Возьмем внутри (a;b) точку c принадлежащую M и выберем какое-нибудь d: a < c-d < c+d < b. Рассмотрим точки e интервала (c-d;c) принадлежащие M. Их несчетное множество. Для каждой такой точки рассмотрим точку 2с-е в интервале (c;c+d). Если бы каждая такая точка не принадлежала M то их бы тоже было несчетное множество. Таким образом существует хотя бы одна точка e' принадлежащая M такая что и 2c-e' принадлежит M. Точка c выбиралась из M и она середина отрезка [e';2c-e'].

Так что если я правильно понимаю что такое континуум то ответ отрицательный. 

>Тогда есть хотя бы один интервал (a;b) такой что лишь счетное множество его точек не принадлежит M.

Это как бы неправда, ня.

Nu esli mnojestvo ne diskretnoye ,to eto mnojestvo mojet imet mo6nost kontiniuma!!!

А что такое дискретное множество?

diskretnoye mnojestvo- eto s4etnoye ili kone4noye mnojestvo!!!

Хм. Тогда не дискретное множество, без сомнения, может иметь мощность континуума или выше. Так что из этого следует-то?

esi ne diskretnoye to mojet!kontinium ozna4aet neprerivnoye!a u vas tam beskone4noye 4iislo to4ek!mojno po rincipu vlojennix otrezkov re6it i dokazat!

ну так решите и докажите =)

ok,re6u viloju)

Пусть существуют континуум точек таких, что никакие два различных отрезка с концами в этих точках не  соизмеримы. Тогда мощность множества всех отрезков с концами в этих точках неменьше мощности множества точек. Перенеся все отрезки на другую числовую прямую левыми концами к точке 0 мы получим строго возрастающую (т. к. все отрезки разные) последовательность правых концов. Выбирая между правыми концами рациональную точку мы получим, каждому отрезку в соответствие какую-то рациональную точку. Значит, мощность множества всех отрезков будет равна мощности какого-то подмножества рациональных чисел. Получено противоречие.

BIVES, поздравляю! Попутно ты доказал, что иррациональных чисел вообще также счётное множество)

Не понимаю как от туда следует счетность иррациональных чисел. Укажи конкретную ошибку. Помойму мои рассуждения доказывают лишь невозможность выбора множества точек, чтобы никакие два различных отрезка с концами в этих точках не были соизмеримы мощности континуум.

Счётность иррациональных чисел? Да элементарно: повторяем то же рассуждение для отрезков вида (0, r). где r - иррациональное число.
Конкретная ошибка: в доказательстве уже неявно предполагается, что количество отрезков счётно. Да, мы можем выбрать рациональную точку между концами двух отрезков. Но у нас нет никаких гарантий, что найдётся отрезок, конец которого ближе всех остальных к этой точке, и которому мы, следовательно, сможем поставить в соответствие данное рациональное число.