Форум умных людей

Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8 так, чтобы они не били друг друга?

64, очевидно же

может поможешь с этими  http://nazva.net/forum/index.php/topic,5501.0.html

Какое наибольшее количество  ладей можно расставить в кубе 8×8 х 8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

76, я полагаю

Вот для двух эта задача становится куда интереснее...

народ сейчас подтянется и решит для 2 :)

15

Тоже имеет смысл, т. ни в одних шахм атных правилах не сказано, что ладья может ходить по вертикали т.е. вверьх и униз

А совершенно неважно, может ладья ходить в третьем измерении или не может. Ответ на исходную задачу не изменится.

Sirion, почему для не более одной ладьи 76? 80 можно точно поставить (ходит ли ладья в третьем измерении - не важно). Расстановка такая:
1) на первой доске (нижнем слое куба) ладьи стоят на А2, B1, B3, C2, D5, E4, E6, F5, G7,H8.
2) на каждой следующей доске (слоях куба от 2 до 8) цифры клеток, в которых стоят ладьи вырастают на единичку (если больше 8, то, разумеется восьмерка отнимается). То есть для второй доски будет А3, B2, B4, C3, D6, E5, E7, F6, G8,H1.
Итого: 10 на каждом слое, 8 слоев = 80. Про не более двух сейчас подумаю, но сложность задачи действительно возрастает резко..

Для не более двух ладей:
1) Первая доска: А1,А8,B2,B7,C3,C6,D4,D5,E4,E5,F3,F6,G2,G7,H1,H8. Всего 16 ладей, выставленных как бы "крестом".
2) Вторая доска и последующие: как и в случае с не более одной ладьей, увеличиваем номера на единичку, как бы передвигая крест вверх.
16*8=128 ладей. Кто может больше, отвечайте, пожалуйста, только с расстановкой=).
P.S. Как и в случае с одной, так и с двумя ладьями, суть расстановки на досках кроме первой заключается просто в передвижении полученной расстановки. Двигать можно не только вверх=) А также вправо, влево, вниз, по любой диагонали=) Фигура для случая с двумя ладьями может быть не только крестом, но и ромбом=). В общем, проще, чем казалось 0_о.

Может и ошибаюсь т.к. расставлять негде но кажется - совпадающие буквы и цифры уже точно говорят, что эти ладьи бьют друг-друга

это лажа

B2, B4,  E5, E7, - неужели не бьют друг-друга ???

Да нет же, проблема возникает в третьем слое. B1 перейдёт в В3 и станет бить В3 из первого слоя.

...которая уже под боем B1 из первого слоя. Идея ясна...думаю дальше тогда.

Для двух максимум, что я пока придумал - 96. Но доказательства максимальности у меня нет. И мне кажется, этот не тот случай, где компьютерным перебором можно решить задачу за разумное время.

Да в том-то и фишка чтобы без компа... Прогу написать не проблема и отработает она за пару минут.

soxjke, да ну? Тупой перебор на современном персональном компьютере потребует порядка 5*10¹⁵⁰ лет. С оптимизацией это количество, конечно, сократится... Но для сравнения - моя хорошо оптимизированная программа, искавшая расстановки ферзей на плоской доске 8*8, где каждый бьёт ровно четырёх других, работала порядка суток.

С ладьями, конечно, проще в том смысле, что перестановки плоских "поддосок" не влияют на свойства позиции. И всё же меня терзают смутные сомнения...

Ну тогда сейчас попробую..
P.S. Цифра 5*10^150 как получается?

в уме прикинул
сейчас посчитал на калькуляторе, вышло 1,4171960013891634005130670765903e+137

количество возможных состояний куба - два в степени количества элементарных кубиков
делим на тактовую частоту ядра и на количество секунд в году

Это в том случае, если ядро за такт способно проверить состояние куба =)

Ну, при оценке порядка сложности снизу я обычно делаю подобное допущение. Разница невелика, на самом деле: столько мы не проживём)

Не прокатывает решение в лоб =(
Sirion, а как ты располагаешь 76 ладей в кубе, если можно чтобы каждая стояла не более чем под одним боем?

Хм... Это есть у меня в голове, но описывается довольно пространно. Сейчас убегаю. отпишусь ближе к ночи.

Sirion, тогда я Вам дам задачку из этой же серии, но задачка - наоборот:
Каково минимальное число ладей в кубе К *К * К, чтобы ими простреливались все поля?
Трёхмерная ладья ходит в 3-х ортогональных направлениях.
По-моему, эта задача будет поинтереснее...

забавно
я подумаю над этим, когда просплюсь)

при k>2 всегда можно k(k-1)
при k=3 точно 6
при k=4 найти меньше 12 не удалось.

При К=3, попробуйте 5 ладей...
При К=4 попробуйте 8 или докажите, что 8 не хватит.
При К >> 2 можно и меньшим числом... => ~0.382*K^2

те поля на которых стоят ладьи должны простреливаться другими ладьями?
если нет то поставить 5 и 8 можно.

Te поля, на которых уже стоят ладьи простреливаются самими ладьями которые на них стоят, поэтому дополнительно простреливать их не обязательно.
Сколько ладей потребуется для 5*5*5?
Хотелось бы получить оценку общего случая :)
Вообще-то эта задача достаточно сложная...
Особенно интересно продолжение - для четырёхмерных шахмат и далее - N-мерных...
В последнем случае - даже оценку получить сложно... Не знаю даже, существует ли она, только намётки...

А 4-ое измерение - это что? 5-е вроде энергия, тогда выходит 4-е - время

для 5х5х5 не более 13

Это оценка сверху или снизу?

а, ну да
оценка снизу, причём довольно грубая
я думаю, её можно серьёзно приблизить к 0.5

У Вас есть обоснование?

я как раз работаю над этим
проснулся, вдарил вотки и размышляю =)

да, я практически доказал это
сейчас ещ стопочку, и оформлю

в общем, тут такая тема
рассмотрим все плоские "слои" нашего куба
пусть минимальное количество ладей на слой -  r
для удобства повернём куб и переставим слои так, чтобы этот слой был нижним
затем переставим перпендикулярные ему слои так, чтобы эти r ладей оказались в одном углу
оптимальным (лень оформлять, но я это доказал, это правда) будет случай, когда ни одна из этих ладей не бьёт другую, т.е. они занимают квадрат r*r
при этом (k-r)^2 полей нижнего слоя этими ладьями не бьётся, т.е. такое количество ладей должно находиться в верхних слоях и бить эти поля
если рассмотреть перпендикулярные слои и вспомнить, что в каждом слое минимум r ладей, можно понять, что в оптимальном случае в параллелепипеде, основание которого - тот самый квадрат с r ладьями, должно быть минимум r^2 ладей (тоже обосновывается несколько более пространно, но я сейчас не осилю)
отсюда ладей минимум (k-r)^2+r^2
отсюда - минимум [k^2/2] (верхняя целая часть)

если не удастся восстановить те ходы рассуждений, которые я пропустил - завтра буду готов уточнить

Жду с нетерпением. Пока мне не понятен ход Ваших рассуждений...
Кстати, я получил нижнюю оценку в 0.5К², но другим путём

итак, строгое доказательство:
1) Очевидно, что свойство ладей бить все "клетки" куба инвариантно относительно поворотов куба и относительно перестановок его слоёв
2) Пусть в кубе k*k*k минимальное количество ладей в слое равняется r<=k/2 (случай r>k/2 неинтересен, поскольку даёт слишком большое количество ладей). Путём поворотов и перестановок слоёв добьёмся, чтобы слой с минимальным количеством ладей (один из) оказался нижним
3) Путём перестановок слоёв, перпендикулярных к нижнему (которые, соответственно, порождают перестановки вертикалей и горизонталей нижнего слоя) добьёмся, чтобы все ладьи нижнего слоя оказались в прямоугольнике a*b, один из углов которого совпадает с углом слоя, и при этом на каждой вертикали либо горизонтали, проходящей через прямоугольник. лежит хотя бы одна ладья. Отсюда  a, b<=r.
//это всё была подготовительная часть для большей наглядности
4) Нетрудно понять, что клеток нижнего слоя, которые не бьются ладьями из этого слоя, будет в точности (k-a)(k-b). Эти клетки будут находиться в "дополнении" к прямоугольнику, содержащему ладьи - прямоугольнике, клетки которого не лежат на одной вертикали либо горизонтали с клетками первого прямоугольника. Соответственно, внутри параллелепипеда с основанием в "дополнительном" прямоугольнике и высотой, равной высоте куба, лежит как минимум (k-a)(k-b) ладей, бьющих поля дополнительного прямоугольника.
5) Пусть a>=b. Немного уточним терминологию: вертикалями назовём те ряды нижнего слоя, которые проходят через "прямоугольник с ладьями" в количестве a. Рассмотрим слои, перпендикулярные нижнему и проходящие через эти a вертикалей. По определению числа r, эти слои суммарно содержат не менее ar ладей, причём ни один из них не пересекает параллелепипед, построенный на "дополнительном" прямоугольнике как на основании.
6) Из этого заключаем, что количество ладей в кубе не меньше (k-a)(k-b) + ar.
7) Докажем, что (k-a)(k-b) + ar >= (k-r)^2 + r^2.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства, перенесём все члены из правой части в левую. приведём подобные слагаемые. Получим:
2kr - ka - kb + ab + ar - 2r^2 >=0
выделим некоторые общие множители, а также прибавим и вычтем br:
k(r-a)+k(r-b)+ab-br+br+r(a-r)-r^2 >=0
вынесем ещё пару общих множителей:
(k-r)(r-a) + k(r-b) + b(a-r) + r(b-r) >=0
и ещё чуть-чуть:
(k-r-b)(r-a) + (k-r)(r-b)>=0
вспомнив, какими неравенствами связаны наши параметры, понимаем, что значения во всех скобках неотрицательны, что доказывает неравенство
8) Не будем доказывать (полагаю, это должно быть очевидно), что (k-r)^2 + r^2 достигает минимума при r=[k/2] (любая целая часть), и минимум этот - [(k^2)/2] (верхняя целая часть).
9) Бурно радуемся, открываем шампанское, угощаем дам =)

полагаю, кстати, что ценой некоторых усилий этот результат обобщается на любую размерность больше единицы в виде [k^n-1/(n-1)] (верхняя)

кстати, решение, соответствующее данной оценке, можно легко подобрать
так что задача решена практически полностью

Спасибо. Вы утверждаете, что (k-r-b)(r-a) + (k-r)(r-b)>=0, но для этого  (k-r-b) должно быть неотрицательным... Это требует доказательства.
Но нюанс - не в этом.
Допустим, Вам удаётся это доказать.
Тогда Ваше неравенство становится СТРОГИМ, не >=, а > и отсюда общее число ладей ОБЯЗАНО быть больше (k^2)/2... В то же время мы знаем, что для k=2, k=4 можно достигнуть равенства...
Проблематичен Ваш тезис:
"3) Путём перестановок слоёв, перпендикулярных к нижнему (которые, соответственно, порождают перестановки вертикалей и горизонталей нижнего слоя) добьёмся, чтобы все ладьи нижнего слоя оказались в прямоугольнике a*b, один из углов которого совпадает с углом слоя, и при этом на каждой вертикали либо горизонтали, проходящей через прямоугольник. лежит хотя бы одна ладья. Отсюда  a, b<=r.":
а) Путём перестановок Вы сможете всё ладьи нижнего слоя переместить в квадрат с диагональю r
б) При этом ладьи в остальных слоях расползутся как угодно, поэтому меня не убедил Ваш тезис: "6) Из этого заключаем, что количество ладей в кубе не меньше (k-a)(k-b) + ar.", особенно: + ar
-------------------------------------------------------------
Я тоже пришёл к 0.5, но другим путём. Если интересно, могу рассказать

Не особенно. Эр было взято меньше либо равно ка пополам, Вы ведь не забыли?
С какой радости? при a=b=r всё обращается в нуль.
Тезис самоочевиден. Свойство полей иметь ровно две общих координаты инвариантно относительно указанных преобразований.
Если r ладей в нижнем слое не бьют друг друга, то - да, они помещаются в квадрат r*r. В общем же случае, если какие-то из них друг друга бьют, они суммарно занимают меньшее количество вертикалей/горизонталей, отсюда и прямоугольник a*b.
Да, нас совершенно не волнует, куда "расползаются" ладьи в процессе этого преобразования. Всё, что сказано в доказательстве, относится к уже преобразованному кубу, его исходное состояние нам, мягко говоря, неинтересно.
Очень жаль, потому что он истинен. У нас есть две непересекающиеся области куба, для каждой из которых доказано нахождение в ней некоторого числа ладей. Следовательно, в сумме куб содержит не менее суммы этих оценок.
Конечно, интересно. Излагайте.

Мне непонятно как у Вас получился + ar. С a=b=r - согласен, более того, к этому всегда можно свести - к квадрату, где плотно по диагонали стоят r ладей, но как при этом получилось +ar - не пойму. Но это - не суть важно.

---

Перейду к изложению своего пути.
1. Я решил определить сколько полей простреливается одной трёхмерной ладьёй.
Очевидно, что одиночная трёхмерная ладья в отсутствии остальных простреливает 3k-2 поля независимо от местоположения - по k в каждом из 3-х измерений минус 2, поскольку поле, на котором она стоит нельзя учитывать трижды (под простреливаемыми я понимаю те поля, которые она простреливает плюс поле, на котором находится).
Кстати, независимость числа простреливаемых полей от расположения одиночной ладьи - и есть тот чудодейственный инвариант (с ферзями и слонами у нас бы такое так просто не вышло бы :) )
2. Если же ладья не одна, то она тоже простреливает  3k-2 поля, но некоторые из них могут простреливаться и другими ладьями и наша задача - позаботиться о том, чтобы ни одно поле не учитывалось дважды (например если ладьи А и Б пересекают общие поля а и б то, хотя каждая из них по-прежнему простреливает  3k-2 полей, но обе вмете они простреливают не 2*(3k-2) полей, а 2*(3k-2) - 2 поля, т.е. можно сказать, что каждая простреливает 3k-2 - 1 не простреленное  до неё поле (одно из дважды простреливаемых полей я вычел у ладьи А и одно - у ладьи Б - просто мне так легче заниматься этой нудной бухгалтерией :) )
3. Легко убедиться, что если в кубе со стороной k находятся более k ладей, то обязательно найдутся поля, простреливаемые несколькими ладьями.
4. Пусть r - минимальное число ладей на плоском слое (горизонтальном или двух вертикальных - фронтальном и профильном). Другими словами, мы считаем, что какой бы слой мы ни выбрали бы, в нём будет r или более ладей.
Для простоты будем считать, что это - верхний горизонтальный слой (на самом деле это не имеет никакого значения, просто легче для пространственного воображения)
5. Определим, сколько полей простреливает каждая из r ладей в этом слое (поля, простреливаемые кратно мы будем учитывать только 1 раз). Легко показать, что это: 2k-r:
каждая ладья простреливает 2k - 1 поле, но каждая из r-1 остальных ладей также простреливает r-1 её полей по одному направлению и r-1 - по другому, то есть у неё 2*(r-1) общих полей с другими ладьями - по 2 с каждой.
Поэтому мы из "счёта" нашей ладьи должны вычесть половину, т.е. r-1. Итого имеем 2к-1-(r-1)=2k-r.
6. Очевидно, что некоторые поля будут простреливаться ладьями и из других слоёв (есть ведь ещё и вертикальная составляющая), но мы учтём это обстоятельство позже.
7. Мы подсчитали, сколько полей простреливает одна ладья (например, ладья А) в горизонтальном слое (т.е. в двух измерениях - фронтальном и профильном (горизонтальный слой имеет фронтальное и профильное направления, фронтальный слой имеет горизонтальное и профильное направления и профильный слой имеет горизонтальное и фронтальное направления). Теперь нам остаётся подсчитать, сколько полей простреливает ладья А в третьем (вертикальном) направлении.
8. Очевидно, что ладья А принадлежит также одному фронтальному и одному профильному слою. Очевидно, что в этих слоях также не менее r ладей и очевидно также, что мы и расчёты можем производить аналогично.
При этом мы получим, что, например и в фронтальном слое она простреливает 2k-r полей в вертикальном и профильном направлениях. Но!!!
а)Поскольку профильное направление мы уже подсчитали в горизонтальном слое, то здесь его надо убрать
b)Общие r полей мы ПОЛНОСТЬЮ вычтем из к (а не половину!!!) - тем самым учитывая пункт 6 (ведь поля, простреливаемые ладьёй А в горизонтальном слое мы записывали на счёт А даже, если они простреливались и в вертикальном направлении, теперь мы должны восстановить справедливость.
Поэтому расчёт в фронтальном слое добавляет k-r (не 2k-r потому что одно направление мы уже учли и не k-r/2, учитывая пункт 6)
c)Профильный слой ничего не добавит, поскольку все направления мы уже подсчитали (в профильном слое будут фигурировать уже подсчитанные направления.
9. Итак, мы имеем, что одна ладья А простреливает 3к-2r полей.
10. Всего у нас общее число ладей R>=kr (в кубе всего к горизонтальных, к фронтальных и к профильных слоёв, в каждом слое - не менее r ладей, но каждая ладья фигурирует в 3-х слоях, поэтому всего ладей - не менее kr, а не 3kr :))
11. Поскольку эти ладьи простреливают все поля, имеем: kr*(3k-2r) <= k³
12. Раскрывая скобки сокращая на k, получаем: 2r² - 3kr + k² >= 0.
Решая его получаем нижнюю границу:
 r_min = (3k +- sqrt(9k²-8k²)/4 = (3+-1)k/4 = 0.5k. (Второй корень - (1k) - посторонний)

---

Ранее я получил ошибочный результат, поскольку для третьего измерения принял k-r/2, а не k-r :)
13. Для 4-х измерений мы получим, что одна ладья А простреливает 4к-3r полей, для 5-ти: 5к-4r, 6-ти - 6к-5r и т.д.
Решая соотв. уравнения мы получим k^N-1/(N-1) для измерения N

---

Кстати, задача на минимум ладей, простреливающих все поля полностью эквивалентна задаче на максимум взаимно не простреливаемых ладей :)

Да, действительно, я вчера вечером понял, что вместо решения неравенств можно тупо запихнуть все ладьи нижнего слоя в квадрат r*r. Можно даже не запихивать, на самом деле - раз Вам не нравятся перетасовки слоёв, будем рассуждать в общем случае.
Выберем в нижнем слое r вертикалей и r горизонталей так, чтобы каждая ладья этого слоя содержалась хотя бы одной выбранной вертикалью и хотя бы одной выбранной горизонталью. Очевидно, поля, не лежащие ни на выбранной вертикали, ни на выбранной горизонтали (их будет (k-r)²), должны простреливаться ладьями из других слоёв.
Теперь возьмём, например, все выбранные вертикали и проведём через них слои, перпендикулярные нижнему. Этих слоёв будет r, и на каждом из них находится минимум r ладей. Это даёт нам ещё r² ладей. Поскольку ладьи из первого и второго этапа рассуждений заведомо разные (одни бьют поля на невыбранных вертикалях/гоизонталях, другие - на выбранных), мы и получаем оценку (k-r)² + r², улучшив которую, получаем итоговую оценку.
Этот метод также прекрасно обобщается на случай n измерений.

Ну и, судя по последней ремарке, Вы уже поняли, как строится пример =)

Вот именно здесь мне и не понятно.
1. Число не покрытых полей в выбранном горизонтальном слое -  (k-r)²
2. Число ладей в нашем слое - r. Итого: необходимо не менее  (k-r)² + r ладей.
А у Вас откуда-то берётся r² - откуда берётся квадрат?
В моих ранних рассуждениях я исходил из следующих неравенств:
Общее кол-во ладей R >= r +  (k-r)² и R >= kr
Иными словами, R >= max(r +  (k-r)², kr), при этом с увеличением r уменьшается r +  (k-r)² и увеличивается  kr, поэтому минимум этого максимума достигается при таком r когда  r +  (k-r)² близко к  kr. Это и дало у меня оценку в >(3 - sqrt(5))/2.
Причём, когда я стал считать по-другому, но ошибочно получил для одной ладьи 3k-1.5r, у меня получилась та же оценка.
Как Вы получили r² а не r - не пойму. Кстати, вертикальных слоёв - 2k, а не k, но каждая ладья принадлежит двум вертикальным слоям...
Но всё равно - как у Вас выходит  r² а не r (т.е.  r²  +  (k-r)², а не  r +  (k-r)²) - мне не понятно.

---

Гм, кажись я понял... Согласен :beer:

интересно, если дать на олимпиаду, кто-нибудь решит?

извращенец)

хотяя... для какого класса?)

десятый-одиннадцатый, наверно

Подобная задача была на всесоюзной олимпиаде лет 40 назад...
В принципе подход с min((k-r)² + r²) доказывает, что число ладей не может быть меньше k²/2 для чётных k и (k²+1)/2 для нечётных k, но не доказывает, что это точная нижняя граница, т.е. он не доказывает, что для всех чётных k таки да можно вложиться в k²/2, а для нечётных - в  (k²+1)/2.
Для малых k мы можем это доказать конкретной расстановкой, но для всех k - сами понимаете :)
Подход с подсчётом простреливаемых полей даёт точное значение - k²/2 для чётных k, но требует доработки для нечётных...

Если ладья ходит во всех трёх направлениях, то максимум для небитых ладей - 8.

Если они могут  бить одну ладью, то 12

я один ничего не понял?

8 ладей
12 ладей

Это при условии, что ладьи ходят в трёх измерениях

но это же очевидная неправда

Да. Наврал. Точнее решил (случайно) эти задачи для фигур, которые ходят в любую точку по плоскостям

Я предлагаю вернуться к задаче с минимумом ладей простреливающих все поля.
Мы доказали необходимое условие - не менее 0.5 к^2. Как доказать достаточное условие?

buka, я думал, Вы уже поняли о_О
Берём два куба со сторонами p и p для k=2p, либо p и p+1 для k=2p+1. Размещаем эти кубы в противоположных углах исходного - так, чтобы они касались только одной вершиной. В каждом из выбранных малых кубов расставляем ладьи так, чтобы в каждом его ряде, независимо от направления, была одна ладья. Для куба со стороной p ладей потребуется p², для куба со стороной p+1 - соответственно. Общее количество ладей соответствует оценке, и нетрудно понять, что эти ладьи бьют любое поле большого куба.

Да вот именно такую картинку я себе представлял
Интуитивно казалось что меньше 13 поставить нельзя но доказательства придумать не получилось.

(http://savepic.org/2103464.jpg)

Спасибо. А расширить на бОльшую размерность?

абсолютно аналогично)

И как?

для n-куба с ребром k - два n-куба с рёбрами (p,p) или (p,p+1), касающиеся только углами
в каждом - p^n-1 либо (p+1)^n-1 ладей, покрывающих все ряды этих подкубов

Не работает, увы...
По Вашему получается что для 4-хмерного куба с ребром к (к - чётное)  потребуется к^3/4, а для 5-тимерного - к^4/8 - это слишком мало - один 5-мерный кубик (в одиночестве) простреливает только 5k-4 полей, 4-хмерный - 4k-3 полей...

По-нашему ничего такого не получается. А вот как по-Вашему это вышло - я, честно говоря, не понял.

Пусть для простоты К - чётное, например, 4. Сколько потребуется 4-хмерных ладей?
А теперь подсчитайте сколько полей простреливает одна 4-хмерная ладья, если все поля считать её. Сравните...
То же самое посчитайте заодно для 5-ти мерной ладьи. Пусть для 5-мерной вообще К = 2

уупс... я идиот
обобщённая формула для n измерений будет [(k/2)^n-1] (верх)

Да нет, это не может работать, что я Вам пытаюсь объяснить :) (кстати, Вы, навереное имели в виду  2[(k/2)^n-1], а не  [(k/2)^n-1])
Одна N-мерная ладья стреляет в N измерениях и даже если не учитывать пересечений с прострелами от других ладей то в N-мерном кубе она простреливает N(К-1)+1 поле,  то есть для N-мерного куба потребуется не менее К^N-1/К полей (я уж -1 пренебрегаю :))
То есть, для 5-мерного куба необходимо минимум  К⁴/5, а у Вас выходит  К⁴/8
Поэтому зависимость типа A(К/2)^N-1 неприемлема (А - любое).

нет, я имел в виду, что конкретно моё доказательство обобщается до оценки 2(k/2)^n-1
беда...

У меня есть некоторые соображения на этот счёт. Правда, они скорее философские, но если Вам интересно - я соберусь и изложу.

Почему же мне неинтересно? Очень даже интересно =)

Если бы можно было получить инвариантное выражение для числа простреливаемых полей для одной ладьи, то это позволило бы нам получить не границу, а точное выражение.
Но, увы, я убедился, что это не может быть инвариантом...
Теперь я стараюсь получить другой инвариант...
Пока что - это всё, что могу сказать...