Форум умных людей

1. Докажите что 2*4*6*8...1990*1992-1*3*5...1989*1991 делется на 1993.
2.Квадрат 1997*1997 порезали на несколько прямоугольников. Докажите что хотябы один из них кратный 4 (периметр).

2*4*6*8*...*1990*1992=3*(2*4*2*8*10*...*1990*1992)
1*3*5*...*1993=3*(1*5*7*9*...*1993)

нЕ ПОНЯЛ.

тьфу

№2

Прямоугольник с целочисленными сторонами имеет периметр, который не делится на 4, в том, и только в том случае, если длины его сторон имеют разную четность.

Предположим, что разрезы делаются по порядку. У начального прямоугольника обе стороны имеют нечетные длины. После разрезания одна из сторон останется нетронутой (т.е. нечетной), а другая разделится на 2 отрезка: четный и нечетный. Теперь нас интересует только прямоугольник с обеими нечетными сторонами.
Повторять предыдущий абзац до победного конца.

1. С точки зрения теории сравнений мы имеем разность двух одинаковых произведений, записанных в разном порядке. В самом деле, -1 сравнимо с 1992 по модулю 1993;, -3 - с 1990, -5 - с 1988 и так далее.

Можно решить и без использования теории сравнений. Преобразуем второе произведение к виду (1993-1992)*(1993-1990)*...*(1993-4)*(1993-2). Если мы раскроем все скобки, то в получившейся огромной сумме практически все слагаемые будут делиться на 1993 - и, следовательно, не повлияют на делимость и их можно вычеркнуть. Останется только (-1992)*(-1990)*(-1989)*...*(-4)*(-2), что, как нетрудно понять, в точности равняется первому произведению, и они дадут разность 0 - что, соответственно, делится на 1993.