Форум умных людей

Как-то наскучили мне эти ваши разрезательно-построительные задачи, и я решил придумать свою, с блэкджеком и шлюхами более общую. Получилось аж целых два пункта.

1) Дан некоторый многоугольник. Мы провели все возможные прямые, делящие его на две равные по площади части. Оказалось, что все эти прямые пересекаются в одной точке. Верно ли, что эта точка - центр симметрии многоугольника?

2) Дана произвольная фигура на плоскости, измеримая по Жордану (т.е. имеющая площадь) и замкнутая (т.е., грубо говоря, без отдельно стоящих точек, без "проколотых" точек и прочих извращений). Опять же проводим все возможные прямые, делящие его на две равные по площади части. Опять же оказывается, что все эти прямые пересекаются в одной точке. Верно ли, что эта точка - центр симметрии нашей фигуры?

вообще-то, для параллелограмма это абсолютно верно

первое утверждение верно. пусть это точка O. если она не центр симметрии то через неё можно провести некоторую прямую пересекающую многоугольник в точках A и B так что OA<>OB. проведём ещё одну прямую через O образующую с прямой AB угол dф. разность площадей треугольников dS=(1/2)(OA²-OB²)dф<>0 т.е. одна часть стала больше а другая меньше.

первое утверждение верно. пусть это точка O. если она не центр симметрии то через неё можно провести некоторую прямую пересекающую многоугольник в точках A и B так что OA<>OB. проведём ещё одну прямую через O образующую с прямой AB угол dф. разность площадей треугольников dS=(1/2)(OA²-OB²)dф<>0 т.е. одна часть стала больше а другая меньше.

о_О

buka, вообще-то, это неправда. Попробуйте провести через центр тяжести треугольника прямую, параллельную одной из сторон. Нетрудно понять, что площади отрезанных треугольника и четырёхугольника относятся как 4 к 5.

P.S. Пожалуйста, не пугайте меня так больше. Я успел усомниться в здравости своего рассудка =)

В данной задаче важнее, что им не является. А не является им, очевидно, ничто.

Симме́три́я(др.-гр. συμμετρία — симметрия) — сохранениие свойств расположения элементов фигуры относительно центра или оси симметрии в неизменном состоянии при каких-либо преобразованиях.
Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

В данной задаче важнее, что им не является. А не является им, очевидно, ничто.

Отнюдь, задача имеет совершенно чёткий смысл. Если фигура не центрально симметрична, то точка пересечения указанных прямых не является её центром симметрии, поскольку оный вообще не существует. Логика безупречна, разве нет?

Типы симметрий, встречающиеся в математике и в естественных науках
двусторонняя симметрия — симметричность относительно зеркального отражения.
симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Описывается группой Zn.
аксиальная симметрия (радиальная симметрия, лучевая симметрия) — симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси. Описывается группой SO(2).
сферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. Описывается группой SO(3). Локальная сферическая симметрия пространства или среды называется также изотропией.
вращательная симметрия — обобщение предыдущих двух симметрий.
трансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние.
лоренц-инвариантность — симметричность относительно произвольных вращений в пространстве-времени Минковского.
калибровочная инвариантность — независимость вида уравнений калибровочных теорий в квантовой теории поля (в частности, теорий Янга — Миллса) при калибровочных преобразованиях.
суперсимметрия — симметрия теории относительно замены бозонов на фермионы.

Отнюдь, задача имеет совершенно чёткий смысл. Если фигура не центрально симметрична, то точка пересечения указанных прямых не является её центром симметрии, поскольку оный вообще не существует. Логика безупречна, разве нет?

Хорошо. Можно сформулировать таким образом: верно ли, что всякий многоугольник, для которого все прямые, делящие его площадь пополам, пересекаются в одной точке, будет центрально симметричным?

Хорошо. Можно сформулировать таким образом: верно ли, что всякий многоугольник, для которого все прямые, делящие его площадь пополам, пересекаются в одной точке, будет центрально симметричным?