Форум умных людей

Есть задача.
Рисуем квадрат, берем произвольно по одной точке на каждой стороне квадрата, затем квадрат стираем и у нас остается четыре точки. Вопрос: как имея только данные четыре точки восстановить квадрат тем самым доказав его единственность.

Смысл задачи в том, что существует единственный квадрат в котором точки на сторонах будут располагаться именно в тех местах где они были выбраны изначально.

 (http://saveimg.ru/pictures/26-09-11/de2df6d42b1d400aad88528c5e5389e8.JPG) (http://saveimg.ru)

ну ест-но такой квадрат единственный, но нам же по условию не даны

Да, мы это понимаем мозгом, но как это доказать?))

ну ест-но такой квадрат единственный, но нам же по условию не даны [/quote]

берем произвольно... начало задачки прочти внимательно))

если взятые нами точи будут располагаться в вершинах четырёхугольника, у которого диагонали перпендикулярны и равны, то однозначное восстановление невозможно: любой прямоугольник, содержащий на каждой из сторон одну из этих точек, будет квадратом

впрочем, если они перпендикулярны, они уже будут равны

в формуле исправил + на -

Добавил картинку для понятности условия.

Ну так квадрат будет тот же самый ведь расстояние между точками не изменится.

:bravo2:

например:
(http://img834.imageshack.us/img834/5889/58987776.gif)

Квадрат тот же, только под наклоном в разные стороны, ведь если не соблюдается условие, что квадрат ab(исходный) равен квадрату a1b1(восстановленный), то не выполняется условие задачи. Поэтому если взять точки в вершинах квадрата, то если рассудить они будут являться вершинами прямоугольного треугольника где сходятся катеты, эти точки только там и могут находиться иначе если предположить, что они находятся не на вершинах квадрата а на сторонах, получиться, что катет будет длиннее гипотенузы, что может быть только в случае если треугольник не только прямоугольный но и равносторонний, а если равносторонний, то как я написал выше он просто повернут под углом.

 (http://saveimg.ru/pictures/26-09-11/71aaae691da9c5f1478a1309145cfd29.JPG) (http://saveimg.ru)

А вообще по условию задачи точки смещать нельзя)))

И всеже я настаиваю, что "востановленный" по точкам квадрат может быть не единственным.
Например, если точки распологаются на перпендикулярных прямых.

Из рисунка явно видно, что "востановленный" квадрат меньше своего "родителя".

(http://img9.imageshack.us/img9/9361/72169511.gif)

Возможно ты прав, но как доказать, что то, что у тебя получилось - квадрат? А вообще условие задачи восстановить тот же квадрат и доказать, что если точки будут в тех же местах, то квадрат будет тот же.

Из построения видно (точки - середины сторон):
(http://img855.imageshack.us/img855/1620/kw2.gif)

Ну условие уже 3 раза коренным образом поменялось, с того момента, как его начали обсуждать.  :sing:

Из построения видно... так ничего не доказывается, попробуй по моему рисунку в первом посте построить квадрат. Условие не меняется а перефразируется либо уточняется. Вдумайся.

А если взять точки, лежащие на параллельных прямых? ;)

Что это значит?

Точки берутся произвольно на сторонах квадрата, противоположные стороны квадрата и так параллельны.

Смотри: берем два пересекающихся квадрата, чтобы точки пересечения были на каждой из четырех сторон одного из них. УЖЕ мы не можем говорить о произвольности.
Показать скрытый текст

Вот, мне кажется уже ближе к решению, если мы берем, как написал Лев, мы получаем, судя по рисунку, равные квадраты, но как это доказать? Я вот еще думал последовательно провести через точки перпендикулярные друг другу прямые таким образом, чтобы получился четырехугольник, но дольше с доказательствами идентичности квадратов проблемы)

Кстати, история вопроса:
Изначально эту задачку мне задал преподаватель физики одного из крупных институтов города Москвы. По его словам данная задача имеет два решения, одно простое и изящное, другое сложное и громоздкое.
Ошибок в тексте задачи нет, решения, как было сказано выше - 2 (как минимум). Поэтому надо вести дискуссию в ключе нахождения решения задачи, а не в ключе нахождения противоречия условий задачи здравому смыслу.

Показать скрытый текст

Если применительно к практике - можно предположить, что эти точки предназначены для изготовления шаблона на который будет надеваться заготовка будущего квадрата - тогда похоже, что можно изготовить по нему единственно возможный

ап

(http://savepic.su/310638.png)
Вот доказательство единственности.
Пусть дан 4-угольник ABCD у которого AC не перпендикулярна BD.
KLMN и PQRS - квадрат и некоторый прямоугольник построенные на ABCD.
Строим прямоугольник P'QRS' который не совпадает с PQRS т.к. A' не совпадает с A.
Т.к. KLMN  квадрат то и P'QRS' тоже квадрат, а значит PQRS не квадрат.

Если AC и BD перпендикулярны(и равны) то квадратов, как уже здесь говорилось, можно построить бесконечно много.