Форум умных людей

Задачи и головоломки => Помогите решить! => Тема начата: ГИМНАЗИСТ от Октябрь 18, 2011, 19:57:55

Название: олимпиада по математике 8 класс
Отправлено: ГИМНАЗИСТ от Октябрь 18, 2011, 19:57:55

Доказать, что 48^n - 2*6^n + 13^n делится на 7 при любом значении n.

Название: Re: олимпиада по математике 8 класс
Отправлено: pentium4 от Октябрь 18, 2011, 20:51:36

Офигенчик ты олимпиады решаешь.

Название: Re: олимпиада по математике 8 класс
Отправлено: BIVES от Октябрь 18, 2011, 23:14:56

n=1 верно 48-12+13=49 делится на 7.
Пусть верно для n-1, т.е. 48^n-1-2*6^n-1+13^n-1=7k докажем, что верно для n
48ⁿ-2*6ⁿ+13ⁿ=48*48^n-1-12*6^n-1+13*13^n-1=
=6(48^n-1-2*6^n-1+13^n-1)+42*48^n-1+7*13^n-1=
=6*7k+7*(6*48^n-1+13^n-1).
Полученое число делится на 7 по индуктивному предположению.