Форум умных людей

1) Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр
2) Найти все простые числа, которые нельзя представить в суммы двух составных
3) Числа 7n+1 и 8n+3 делятся одновременно на некоторое натуральное число d, которое не равно 1. Надо найти это число.
4) Можно ли на плоскости нарисовать 9 окружностей так, чтобы каждая касалась ровно 5 окружностей?

2)
любое простое начиная с 13 = 9 + чётное.

3)
если 2 числа делятся на d то и остаток от деления первого на второе делится на d.
(8n+3)=(7n+1)+(n+2)
7n+1=7(n+2)-13
d=13
n=11+13k

1) Пусть такое число n-значно. Тогда оно не меньше 10^n-1. В то же время сумма его цифр не больше 9n, а оно, стало быть, не больше 108n. Начиная с n=4, эти требования несовместимы.
Если число делится на 12, то сумма его цифр делится на 3. Если сумма цифр делится на 3, то умноженная на 12, она будет делиться на 9. Значит, число делится на 9, значит, его сумма цифр также делится на 9. Магия!
Стало быть, нам нужно перебрать трёхзначные числа вида 108k. При этом сумма цифр числа (9k) не может превышать 27 (три цифры, не забыли?). То есть нужно перебрать k=1,2,3. 108 подходит, 216 и 324 - нет.
Ответ: 108.

4)
будем считать что каждой паре касающихся окружностей соответствует одна точка, если несколько окружностей касаются друг друга в одной точке то всё равно точки считаем различными. тогда всего точек будет 9*5/2 - число нецелое, так что ответ - нет.

или лучше центры касающихся окружностей соедининить отрезками - получим невозможный граф.

1. В треугольнике АВС биссектрисы углов ВАС и АВС пересекаются в точке О. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 125°.
2. В окружности с центром в точке О угол СКВ = 20°, угол CDA = 50°. Найдите градусную меру угла BAD.