Форум умных людей

Жил когда-то один купец, и было у него три сына. Однажды купцу пришла мысль проверить, насколько хорошо его сыновья умеют обращаться с деньгами. И задал он им такую задачу. Имеется капитал в размере 100 000 золотых. Его вкладывают в дело, которое приносит годовой доход 20%. В конце года можно часть дохода потратить, а часть присоединить к основному капиталу. Сам капитал (и присоединенные проценты) трогать нельзя. Требуется в течение 10 лет потратить как можно больше денег. Старший сын сказал, что будет сразу тратить весь доход. Средний сказал, что половину дохода будет тратить, а половину присоединять к капиталу. Младший сын решил, что 9 лет весь доход будет присоединять к капиталу, а на десятый год весь доход потратит. Послушал их купец, и сказал, что все они неправы. Какое решение предложил он, и сколько потратил бы каждый?

Сдается мне, надо первые 4 года ничего не тратить, на 5 год не имеет значения, а последние 5 лет — всё тратить.

Тепло! А подробнее можно?

В последний год имеет смысл тратить всё. В предпоследний год каждый непотраченный золотой даст увеличение прибыли на 0.2 золотых на следующий год. Значит, не тратить их невыгодно, и в предпоследний год также должно быть потрачено всё. На восьмой год каждый непотраченный золотой даст то же увеличение прибыли, но уже на два года. По-прежнему невыгодно. На пятый год каждый непотраченный золотой даст эквивалентную прибыль, поэтому нет разницы, тратить его или нет. Во все предыдущие годы прибыль будет больше одного золотого, и имеет смысл копить.

Рассуждение у вас верное, но можете привести точный расчет - кто сколько потратит?

максимум с одного золотого получается если начать забирать проценты с него за 5 или 6 лет до конца, причём не важно в каком году он вложен, суммано максимум получится 248832 золотых

кстати отличная задачка !

причём интересно, что для любого процента x (0.2 для 20%), собирать сливки нужно начинать за 1/ln(1+x) лет до конца,
для 20% это ~5.5
для 10% это 10.5
для 5% это 20.5 лет

Старший потратит 20000*10=200000 золотых. Средний потратит 10000(1+1.1+1.21+...+1.1⁹)=10000(1.1¹⁰-1)/(1.1-1)~159374 золотых. А младший, соответственно, 100000*1.2¹⁰/5~123834 золотых.

Купец же, таки да, потратит 100000*1.2⁵=248832 золотых.

Все правильно! Только насчет младшего у меня выходит 100000*1.2⁹/5~103195 золотых.
И тратить начинать лучше последние 5 лет, т.к. тогда капитал больше вырастет.

есть мнение, что логарифмы здесь вообще не при чём, а формула имеет вид 1/х

Sirion в сторону мнения, только факты, формула близка к 1/x

Формула m = n - 1/ln(1,2), где n количество лет, а m - сколько лет надо не тратиться.

о! мнения разделились!
я - за решение без логарифмов

моё мнение такое
пусть за 1 год вклад растёт в 1+p раз.
если 1/p число целое то в последние 1/p лет нужно снимать весь прирост, перед этим 1 год можно ничего не снимать или снять любую часть прироста, а ещё ранее не снимать ничего.
если 1/p не целое то в последние [1/p]+1 лет снимать всё, а до этого ничего.

В общем можно и без логарифма, на всём промежутке разница между 1/x и 1/ln(1+x) не превышает 1

"можно и без логарифма"? я, пожалуй, выражусь немного иначе
логарифм здесь нахер не нужен

единственная причина, по которой, насколько я понимаю, его сюда пытались впихнуть - это смутное, интуитивное представление о том, что прибыль от вложенного золотого растёт экспоненциально
однако в данном случае в последние годы тратится вся прибыль целиком, и экспоненциального роста не происходит
начиная с момента, когда был потрачен первый золотой, всё становится линейно

Пусть год назад основной капитал был 1.
За год получили прирост p и снимаем некоторую его часть q (0<=q<=1).
Основной капитал после этого будет s=1+p-qp.
Пусть вклад будет лежать ещё n лет и мы высчитали что в лучшем случае за это время можем снять сумму равную nps (это очевидно при n=0,1).
Вместе с этим годом получаем qp+np(1+p-qp)=np(1+p)+qp(1-np).
Если 1-np>0 q=1, если 1-np<0 q=0, если 1-np=0 q не имеет значения, можно принять q=1.
Таким образом если n=[1/p] то за последние n+1 лет получим np(1+p)+p(1-np)=(n+1)p - доказано по индукции.

логарифмов тут нету.

Пусть u начальный капитал. n общее количество лет. m - количество лет которое, купец не тратил прибыль.

За m - лет капитал станет 1,2^m*u. Соответственно, за каждый последующий год будет тратиться 0,2*1,2^m*u.

Всего потратится f(m)=(n-m)*0,2*1,2^m*u

Итого надо наити точку максимума для функции f(x)=(n-x)*1,2^x

f'(x) = 1,2^x*ln1,2*(n-x) - 1,2^x=1,2^x*((n-x)*ln1,2 - 1)

Откуда Xmax = n- 1/ln1,2

жекас, тоесть ты со всеми согласный..

зы:  :laugh:

иногда, чтобы найти максимум функции на целых числах, бывает удобно перейти к действительному аргументу и взять производную
именно это жекас и сделал
точнее, начал делать, но не закончил
вторая часть решения - вычислить функцию на двух ближайших к Xmax целых числах и найти из этих значений наибольшее, которое и будет искомым максимумом
ответ, разумеется, получился бы такой же, как у всех :)

просто мы с жекасом решали используя математический анализ, а вы логику и индукцию :)

Решение через производную годится в том случае если доказать что сначала несколько лет деньги должны не тратиться совсем а потом тратиться все.

Прошу прощения у господ с техническим образованием за разбавление дискуссии подобным лепетом, но исходя из условия, для начала придется "доказать", что купец предложил бы наилучшее решение.

Рассуждая в этом ключе, мы быстро придем к чисто агностическому выводу, что понятия не имеем, через что, простите, решал он сам.

Поскольку сия задача вызвала столь оживленную дискуссию, даю первоисточник, где имеется и краткая теоретическая часть. Вам, уважаемый Лев, надеюсь, будет интересно.
Показать скрытый текст

Индукция у С. Семенова это нечто. Понять её было сложнее чем решить задачу :)

Так то когда было! Почти 34 года назад! Математика тогда сильно уступала нынешней.  ;)