Форум умных людей

Достаточно прибавить единицу к одному из показателей степени — и труднейшая проблема преобразуется в несложную, красиво решаемую, задачу: найти целые корни уравнения xⁿ+yⁿ=zⁿ⁺¹.

Если нужно найти все корни - я не уверен, что задача сильно упростилась. А частное решение есть, таки да :)

Я таки хочу уточнить: автор знает способ найти все корни, или предлагает найти хотя бы один? Не очень хочется сидеть всю ночь над открытой проблемой.

Да, есть способ найти все корни.

Наконец что-то, что не решается за один перекур =)
Удаляюсь на обдумывание.

y=kx
xⁿ+(kx)ⁿ=(1+kⁿ)xⁿ
если x=1+kⁿ то xⁿ+yⁿ=xⁿ⁺¹

даже более общо:
х=a(aⁿ+bⁿ)
y=b(aⁿ+bⁿ)
z=aⁿ+bⁿ

но есть решения, которые таким образом не представляются
например, 13¹+12¹=5²
2²+11²=5³

меня терзают всё более и более мощные сомнения
автор абсолютно уверен, что ему известно полное решение? что он владеет формулой всех корней и доказательством того, что иных корней не существует?

формула всех корней (правда, некрасивая):

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\fn_phv%20\begin{align*}x&=a\cdot\frac{a^n+b^n}{d^{n+1}}\cdot%20m^{n+1}%20\\[10pt]y&=b\cdot\frac{a^n+b^n}{d^{n+1}}\cdot%20m^{n+1}%20\\[10pt]z&=\frac{a^n+b^n}{d^n}\cdot%20m^n%20\end{align*})

здесь:
a,b - произвольные взаимно простые целые числа
m - произвольное целое число
d - максимальное натуральное число, при котором aⁿ+bⁿ делится на dⁿ⁺¹

а откуда это следует?

xⁿ+yⁿ=zⁿ⁺¹
Будем называть решение приводимым, если x и y делятся на mⁿ⁺¹, а z делится на mⁿ при некотором целом m.  Будем искать только неприводимые решения, т.к. все приводимые получаются из них домножением.
Пусть D = НОД(x,y), тогда  x = a·D,  y = b·D  при некоторых взаимно простых a и b.
Уравнение примет вид:
(aⁿ+bⁿ)·Dⁿ=zⁿ⁺¹
Рассмотрим простой делитель p числа D.  Пусть D делится на p^k.  Если k > n, то получим противоречие с предположением о неприводимости решения.  Значит, k <= n.  Пусть (aⁿ+bⁿ) делится на p^s.  Тогда левая часть уравнения содержит число p в степени s+kn, и это число должно делиться на (n+1).  Очевидно, что для k<=n неотрицательный довесок s должен быть не менее, чем k.  Поскольку это верно для любого простого делителя p числа D, то (aⁿ+bⁿ) должно делиться на D.  Как легко заметить из уравнения, частное (aⁿ+bⁿ)/D, будет (n+1)-ой степенью целого числа, которое мы обозначим dⁿ⁺¹.  Если предположить, что d не является максимальным числом, (n+1)-ая степень которого делит (aⁿ+bⁿ), то получим противоречие с неприводимостью решения.
"Формула всех корней" доказана.

Очень интересные мысли! Почитал с большим удовольствием!
Авторское решение следующее:
Показать скрытый текст

вот как знал)

(http://static.diary.ru/picture/1163.gif)

А как же быть в случае n = 2 когда x, y, z могут быть взаимно простыми, например
7² + 524² = 191² + 488² = 65³.

Хотя z всегда оказывается представимым в виде суммы двух квадратов (как это доказать?), в данном случае
65=1²+ 8² = 4²+ 7²
65² + 520² = 65³
260² + 455² = 65³

moonlight, это претензия к авторскому решению или к решению айФонографа?

ипатефон я...

к обоим :)

это решение получается при
a=191
b=488
m=1

x=191(191²+488²)
y=488(191²+488²)

я по своим формулам считаю, а не по фортпостовским

А авторское решение нужно усовершенствовать:

Берём произволные a,b
a^n+b^n=c
У c выделям  полную n+1-ю степень:
c=d^{n+1}*e

g=e*a  h=e*b

g^n+h^n = (ea)^n+(eb)^n = e^n(a^n+b^n)=e^n*d^{n+1}*e=(de)^{n+1}

И как из этих формул получить x=191 y=488 z=65?
Для этого нужно взять a=191 b=488 d=65.

d не нужно "брать", d однозначно определяется числами a,b,n

я понял - вы ждёте, что эти формулы волшебным образом облегчат поиск решений из малых чисел
увы, эти формулы лишь перенумеровали все возможные решения тремя параметрами (a,b,m), но искать красивые решения от этого легче не стало