Форум умных людей

Верно ли, что для всякой непрерывной функции  f(x) найдётся непрерывная функция g(x) такая, что f(x)=g(g(x))?

если f(x) представима в виде f₀+f₁x+f₂x²+..., а такая g(x) cуществует и представима в виде g₀+g₁x+g₂x²+..., то коэффициенты g должны удовлетворять системе уравнений получаемой из равенства f₀+f₁x+f₂x²+...=g₀+g₁(g₀+g₁x+g₂x²+...)+g₂(g₀+g₁x+g₂x²+...)²+...

moonlight, это хорошо или плохо?

Это если рассматривать функции над R =)
хотя, в общем-то, так оно и предполагалось по дефолту
а почему не найдётся?

не понял.   
x - это n-мерный вектор?   
или ещё что-нибудь похуже?

ну, например, в комплексной плоскости -х прекрасно раскладывается

термин "комплексная плоскость" здесь явно лишний :)
непрерывные функции над С - это обычные непрерывные функции из R² в R²

поправьте условие, уточнив что такое х, а то совсем разные задачи получаются

Везде подразумевается множество действительных чисел.

так а к чему тогда эти придирки с ухмылкой?

В случае Rⁿ я не могу доказать, но жопой чую, что если f(x) - отзеркаливание, то g(x) не существует.  Отзеркаливание - это функция, меняющая знак одной координаты.  В R отзеркаливание будет умножением на (-1), в С - комплексным сопряжением, в R³ - то, что в зеркале.

Ну так для f(x)= sin(x) тоже с ходу невидно

пусть g(g(x))=f(x)=-x
g инъективна, поскольку f инъективна
g инъективна и непрерывна, поэтому монотонна
не зависимо от знака монотонности g композиция g(g(x)) будет монотонно возрастающая
аблом.

таки верно

а в R²ⁿ для f(X)=-X всегда есть g(X), которая работает примерно так:

(a, b, c, d ...) -> (-b, a, -d, c ...) (по сути, это такой поворот на пи пополам)

вот случай 2n+1 интересен

пардон, я то ли недочитал, то ли ты быстро отредактировал)
если изменение знака одной координаты - тогда, скорее всего, да
потребовав от жэ гладкости, я могу это няшно доказать
без гладкости пока не могу придумать