Форум умных людей

Что больше  - 99! или 50⁹⁹?

помню, мы эту оценку искали в общем виде на одной из первых пар матана)

неравенство между средними арифметическим и геометрическим.
доказательство нужно?

хотя общее доказательство здесь не требуется, достаточно для n=2.

Нет, не обязательно.

Тупой результат без доказательств (50^99)-99! = средствами инета
для проверки
Показать скрытый текст

Так-то оно верно. А вот доказать бы ещё. Кто могёт?

Не знаю чем вам не нравится решение, которое предложил moonlight, помоему оно наиболее простое.
Можно прологарифмировать
ln1+ln2+...+ln99-99ln50<
По теореме Лагранжа
lnk<(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k, k>=1
<100ln100-100+1-99ln50=ln50+100ln2-99<4+100*(4/5)-99=-15.
Значит, 99!<50⁹⁹.

Почему не нравится? Очень даже. Просто сразу не понял. :-\

а можно поподробнее? что-то я не помню такую теорему...

а самого Лагранжа помнишь?

а кто его не помнит?

f(x)-f(y)=f^/(r)(x-y), где r из интервала (y,x).
У нас f(z)=zln(z)-z, f^/(z)=ln(z),
x=k+1, y=k, x-y=1.
(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k=ln(r), r из интервала (k,k+1).
А так как ln(z) возрастает, то ln(r)>ln(k).

какое гинекологическое применение теоремы о среднем, ня

блин, и правда
а я думал, это просто верхнее неравенство из замечательного предела (про е), записанное в непривычном виде

Кстати можно было вообще очень просто решить
- 99!<0 50⁹⁹>0, поэтому - 99!<50⁹⁹  :laugh:

А как сравнить 300! и 100³⁰⁰ моим способом можно, а как проще ?

скопировал в конец

Для проверки: (100^300)-300! :read: :pig: :tianchik: :girlcry:
Показать скрытый текст

мдаа...

Во-во неожиданно