|
Название: Два хитрых ряда Отправлено: fortpost от Февраль 06, 2012, 07:58:52 Имеются два расходящихся ряда - a1+a2+a3+...+an+... и b1+b2+b3+...+bn+..., причем an>0, bn>0 и a1>a2>a3..., b1>b2>b3...
При этом ряд min(a1,b1)+min(a2,b2)+...+min(an,bn)+... сходится. Что это за ряды? Название: Re: Два хитрых ряда Отправлено: Sirion от Февраль 06, 2012, 08:56:59 ну, это совсем просто
возьмём, например, ряды: 1, 1/4, 1, 1/16, 1, 1/64... 1/2, 1, 1/8, 1, 1/32, 1... Название: Re: Два хитрых ряда Отправлено: fortpost от Февраль 06, 2012, 09:21:16 ну, это совсем просто возьмём, например, ряды: 1, 1/4, 1, 1/16, 1, 1/64... 1/2, 1, 1/8, 1, 1/32, 1... Да, но они не монотонно убывают. Название: Re: Два хитрых ряда Отправлено: fortpost от Февраль 06, 2012, 09:31:41 Прошу прощения, забыл условие монотонности вставить. >:( Исправил.
Название: Re: Два хитрых ряда Отправлено: Sirion от Февраль 06, 2012, 11:48:04 Ня, так гораздо интереснее. Сейчас что-нибудь придумаю.
Название: Re: Два хитрых ряда Отправлено: Sirion от Февраль 06, 2012, 12:31:55 Поскольку гармонический ряд расходится, расходится и любой его остаток. Следовательно, для любого n мы можем найти k такое, что 1/n+1/(n+1)+...+1/(n+k)>1
Используя этот факт, мы сможем построить наши два ряда следующим образом: <1>; <1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64>; <1/65; 1/66 ...>; <кусок геометрической прогрессии>;<кусок гармонического ряда>... <1/2>; <1/3; 1/4; 1/5; 1/6; 1/7>; <1/128; 1/256 ...>; <кусок гармонического ряда>; <кусок геометрической прогрессии>... - так, чтобы сумма каждого куска гармонического ряда была больше единицы, и оба ряда монотонно убывали. |