|
Название: В клетках шахматной доски Отправлено: fortpost от Февраль 11, 2012, 23:14:54 В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найдите число, стоящее на поле e2.
Название: Re: В клетках шахматной доски Отправлено: BIVES от Февраль 11, 2012, 23:59:03 Во всех клетках 4.
Название: Re: В клетках шахматной доски Отправлено: BIVES от Февраль 12, 2012, 00:07:58 Докажем, что во всех клетках должны быть одинаковые натуральные числа.
Если есть клетка с 1, то так как числа натуральные должны быть единицы во всех клетках. Пусть это верно для n-1 т.е. если есть клетка с числом n-1, то n-1 стоит во всех клетках. Допустим у нас есть клетка с числом n, тогда по индуктивному предположению в остальных клетках должны стоять числа >= n. Если есть хотябы одна клетка с числом >n, то найдется клетка с числом n, которая будет с ней соседней, а этого быть не может. Название: Re: В клетках шахматной доски Отправлено: fortpost от Февраль 12, 2012, 00:11:45 Название: Re: В клетках шахматной доски Отправлено: iPhonograph от Февраль 12, 2012, 00:24:35 Докажем, что во всех клетках должны быть одинаковые натуральные числа. а разве для действительных чисел такое же утверждение не верно?Если есть клетка с 1, то так как числа натуральные должны быть единицы во всех клетках. Пусть это верно для n-1 т.е. если есть клетка с числом n-1, то n-1 стоит во всех клетках. Допустим у нас есть клетка с числом n, тогда по индуктивному предположению в остальных клетках должны стоять числа >= n. Если есть хотябы одна клетка с числом >n, то найдется клетка с числом n, которая будет с ней соседней, а этого быть не может. Название: Re: В клетках шахматной доски Отправлено: BIVES от Февраль 12, 2012, 00:30:34 Верно и для действительных.
Название: Re: В клетках шахматной доски Отправлено: iPhonograph от Февраль 12, 2012, 00:52:26 тогда зачем в доказательстве индукция?
просто берём максимальное число и смотрим на его соседей. Название: Re: В клетках шахматной доски Отправлено: lemoln от Апрель 03, 2012, 19:57:56 Так какой ответ-то?
|