Форум умных людей

(http://s017.radikal.ru/i440/1203/40/ad4c2ee21acc.png)
(http://s019.radikal.ru/i622/1203/8c/83a3729cccd3.png)

Пожалуйста, помогите, может кто знает как решать какое-нибудь из вышеперечисленных заданий. Очень нужно. Зарание благодарна.

19.7
a³[sqrt(2)-2/3]

3.4
Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда
и только тогда, когда все простые множители вида 4k+3 входят в разложение
этого числа с четными показателями.
2006=2*17*59
59 в степени 1.

10.8
f(x)-2f(1/x)=(2-x²)/x
f(1/x)-2f(x)=(2-(1/x)²)/(1/x)=(2x²-1)/x
f(x)-2f(1/x)+2(f(1/x)-2f(x))=-3f(x)=(2-x²)/x+2(2x²-1)/x=3x
f(x)=-x.

15.6
arcsin(x)+arccos(x+1)=pi/2
arccos(x+1)=arccos(x)
решений нет

18.1
S_ABM/P_ABM=S_BCM/P_BCM
S_ABM/S_BCM=AM/MC
(AB+BM)/AM=(CB+BM)/CM
cos(A)=(AB²+AC²-BC²)/(2AC*AB)=5/9
AM=x CM=15-x
BM=sqrt(AB²+AM²-2AB*AM*cos(A))=sqrt(144+x²-40x/3)
(12+sqrt(144+x²-40x/3))/x=(13+sqrt(144+x²-40x/3))/(15-x)
...
AM=x=22/3 CM=15-x=23/3
AM/MC=22/23.

11.1
Первый игрок всегда будет выигрывать, если после своего хода будет оставлять число минусов кратное 3.

13.4. 2cos(x/10)≤2; (2^x+2^-x)≥2; Равенство достигается при х=0.

16.4. 3^lgtgx-2∙3^lgctgx+1=1; 3^lgtgx-2∙3^1-lgtgx=1; lgtgx=t; 3^t-6∙3^-t=1; 3^2t-3^t-6=0; 3^t=z; z²-3z-6=0; z_1,2=1/2±√(1/4+6)=1/2±5/2; z₁=3, z₂=-2 - не подходит; 3^t=3 -> t=1 -> lgtgx=1 -> tgx=10 -> x=arctg(10)+πk, k=0, ±1, ±2,...

 

если останутся 3 минуса так ...++--+-+... или так ...+-++-++-++... то проиграет.

11.1 Первый выигрывает исправив центральный минус, а потом играя симметрично второму.

4.4 нельзя так как полученое число будет делиться на 9, а 2006 нет.

6.1  a=(401!)^1/401<(1+2+...+401)/401=201
       b=(402*403*...*802)^1/401<(402+...+802)/401=602
       c=(803*...*1203)^1/401<(803+...+1203)/401=1003
       d=(1204*...*1604)^1/401<(1204+...+1604)/401=1404
       e=(1605*...*2005)^1/401<(1605+...+2005)/401=1805
     Пользовались тем, что среднее геометрическое меньше чем среднее арифметическое.
Показать скрытый текст

Имеем 2005!=(a*b*c*d*e)⁴⁰¹<(201*602*1003*1404*1805)⁴⁰¹.

20.7
Показать скрытый текст

10.8 Так как равенство верно для всех х, то оно верно при х=у и х=1/у.
Подставляем и обозначаем f(y)=a, f(1/y)=b. Имеем:
a-2b=(2-y²)/y
b-2a=(2y²-1)/y

Умножаем нижнее равенство на 2 и прибавляем ко второму.
-3a=3y²/y.
Значит, f(y)=-y.