Форум умных людей

Сажаем березы по обычной квадратной решетке со стороной 4080 м, а ели по серединам сторон. В бесконечной решетке у каждой ели будет ровно 10 берез на расстоянии 1 км, и елей будет вдвое больше, чем берез. Можно ограничиться конечным участком, чтобы елей было больше, минимальный размер леса должен быть около 7 км.

(http://s1.hostingkartinok.com/uploads/images/2012/05/1a50dd41ed6f7bfc71ce6dc345100e13.png) (http://www.hostingkartinok.com)

Ответ: может. Покажем, что к произвольному лесу М из n елок и k берез, удовлетворяющему условию Мюнхгаузена (на расстоянии 1 км от каждой елки растет 10 берез), можно добавить еще несколько елок и берез с сохранением этого условия так, чтобы отношение n/k числа елок к числу берез увеличилось на 0,1.
Отметим на произвольной окружности ω радиусом 1 км 10 точек А₀, А₁ ..., А₉. Отложим от каждого дерева X леса М векторы А₀А₁, ..., А₀А₉ и в их концах Х₁, ..., Х₉ посадим деревья той же породы, что и X. Точки X₁, ..., Х₉ лежат на окружности ω_х, получаемой из ω переносом на вектор А₀Х; если X — береза, посадим  в  центре  Х₁₀ этой окружности  елку (рис. 1).
(http://s019.radikal.ru/i634/1205/d3/ef9021a66e8d.jpg)
В результате к лесу М добавятся еще 9 его экземпляров, полученных из М сдвигами на векторы A₀A_i и удовлетворяющих условию Мюнхгаузена, и еще k елок Х₁₀ (для всех берез X), для которых условие тоже выполнено. При этом новое отношение числа елок к числу берез  будет равно (10n+k)/10k=n/k+0,1.
(Точки А₀,..., А₉ нужно выбирать с некоторой осторожностью, иначе может оказаться, что в одну точку надо высаживать два дерева и что в «окружении» какой-нибудь елки окажется лишняя береза. Поэтому лучше действовать последовательно: сначала выбрать на ω точку А₀ и посадить елки Х₁₀ в центрах окружностей ω_х для всех берез X так, чтобы расстояния от этих елок до других берез леса М были отличны от 1 км, затем выбрать А₁ так, чтобы деревья Х₁ не попали на уже занятые места, а в окружении елок не оказалось «чужих» берез, аналогично выбрать А₂ и т. д.)
Теперь рассмотрим лес M₁, состоящий из одной елки и десяти берез на расстоянии 1 км от нее. Для него отношение n/k=0,1. Построим по М₁ описанным способом лес М₂, по лесу М₂ — лес М₃ и т. д. Для леса М₁₁ это отношение будет равно 0,1+10∙0,1=1,1>1, и условие Мюнхгаузена выполняется. Правда, этот лес состоит из 10¹¹ берез и 11∙10¹⁰ елок, что многовато даже для легендарного барона. Однако имеется другой пример, подтверждающий, что барон никогда не лжет.
Пусть лес F₁ состоит из двух елок и двух берез, расположенных в диаметрально противоположных вершинах квадрата. Рассмотрим последовательность F₁, F₂,..., в которой лес F_k+1 является объединением леса F_k, и леса F'_k, полученного из F_k переносом на некоторый вектор v_k, «общего положения» (исключающего пересечения) длиной 1 км и заменой елок на березы и наоборот (рис. 2). Очевидно, лес F9, состоящий из 2⁹=512 елок и такого же числа берез, удовлетворяет условию Мюнхгаузена. Применяя к нему конструкцию, описанную в начале решения, получим вполне реальный лес из 21∙512=10 752 деревьев, также удовлетворяющий этому условию, для которого отношение числа елок к числу берез равно 1,1>1.
(http://s019.radikal.ru/i611/1205/10/1bab635a9db0.jpg)