|
Название: Пётр и Павел Отправлено: fortpost от Май 24, 2012, 22:53:11 Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: «Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения». «Мой тоже»,– ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?
Название: Re: Пётр и Павел Отправлено: BIVES от Май 25, 2012, 00:05:32 Название: Re: Пётр и Павел Отправлено: fortpost от Май 25, 2012, 00:11:41 Ага, так! :good2:
Название: Re: Пётр и Павел Отправлено: семеныч от Май 25, 2012, 09:48:35 Во время их встречи Петру и Павлу было 1 + 8 + x + y лет и 1 + 9 + u + v лет соответственно. Определим двумя способами год, в котором произошла встреча. Поскольку возраст Петра на тот момент был равен сумме цифр его года рождения, встреча произошла в 1800 + 10x + y + 9 + x + y году. С другой стороны, и возраст Павла был равен сумме цифр его года рождения, а значит, встреча произошла в 1900 + 10u + v + 10 + u + v году. Получаем уравнение 1800 + 10x + y + 9 + x + y = 1900 + 10u + v + 10 + u + v.
После упрощений уравнение преобразуется к виду 11(x – u) + 2(y – v) = 101, где x – u и y – v — целые числа, не превосходящие по модулю 9. Перепишем его в виде 11(x – u) + 2(y – v – 1) = 99. Заметим, что 99 делится на 11 и 11(x – u) делится на 11, а потому и y – v – 1 должно делиться на 11. Так как –9 ≤ y – v ≤ 9, то y – v = 1. Следовательно, x – u = 9. Павел старше Петра на 1900 + 10u + v – 1800 – 10x – y = = 100 – 10(x – u) – (y – v) = 100 – 90 – 1 = 9 лет. |