|
Название: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 23, 2012, 10:50:40 Два бессмертных бога играют в следующую азартную игру: они кидают симметричную монетку и записывают результаты бросков. Если в некоторый момент полученная запись окажется симметричной и будет иметь чётную длину (например, "орёл-решка-решка-орёл"), выигрывает первый бог. В противном случае, если после бесконечного количества бросков первый бог так и не победит, выигрыш достаётся второму богу. Задача: рассчитать вероятность победы первого бога с точностью до... скажем, ста знаков после запятой =) Альтернативно, вы можете попытаться решить задачу на уровне чистой математики и дать этой вероятности аналитическое представление. Удачи. Мне не удалось. Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Funeralla от Июль 23, 2012, 17:22:43 что-то мне кажется вероятность равна 0.25...
доказать (ну или опровергнуть) ещё предстоит.. Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 24, 2012, 12:11:36 ну, попробуйте)
Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: ☭-Изделие 20Д от Июль 24, 2012, 19:47:42 Вот Вам монетка
кидайте :bravo: (http://altfast.ru/uploads/posts/2010-09/1285348255_berloga.net_516609544.jpg) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 24, 2012, 21:14:03 а не так? :tomato:
P(n) = 0 + 1/2 + 0 + 1/8 + 0 + ... (1/2)^n, n = 2k-1 P(1) = 0 P(2) = 50% P(4) = 62,5% ... P = 2/3 (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n-1}}) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Michael от Июль 25, 2012, 04:48:17 а не так? :tomato: Нет, неправильно. P(n) = 0 + 1/2 + 0 + 1/8 + 0 + ... (1/2)^n, n = 2k-1 P(1) = 0 P(2) = 50% P(4) = 62,5% ... P = 2/3 (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n-1}}) В P(4) встречаются случаи из P(2), значит ты их посчитал 2 раза, надо 1 раз их вычесть. Если P(2,4) - вероятность того что последовательность попала под случай 2 и случай 4, то P(2) + P(4) - P(2,4) И т.д. Например P(2) + P(4) + P(6) - - P(2,4) - P(2,6) - P(4,6) + + P(2,4,6) Не уверен что это решается. Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 25, 2012, 09:15:37 P(n) - вероятность выиграть за n ходов. :whiteflag:
P(1) = 0 // один раз бросили, нечетное, никакой симетрии P(2) = 1/2 // два раза бросали (ОО, РР, РО, ОР). вероятность выиграть 2 из 4-х = 50% далее может вероятность только расти ("вероятность выиграть за n ходов") P(3) = 1/2 // три раза бросали. Нечётное-> на этом ходе не выиграем. // Вероятность не выросла. // П.С. тут важно, что выпало, но это посчитаем на след ходе :-[ P(4) = 1/2 + 1/8 // РООО,РООР (при Р=1/8), РОРО,РОРР (при Р=1/8) // или ОРОО,ОРОР (при Р=1/8) ,ОРРО,ОРРР (при Р=1/8) // т.е. P(4) = P(3) + (1/2) * (1/8) + (0) * (1/8) // + (0) * (1/8) + (1/2) * (1/8) = 1/2 + 1/8 = 0,625 (62,5%) Показать скрытый текст и т.д. Р = 2/3 (~66,67%) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 25, 2012, 11:34:22 Таки нет. Вероятность, которую я вычислил, не выражается ни рациональным числом, ни корнем многочлена какой-нибудь разумной степени, ни простой комбинацией различных констант типа пи, е и так далее.
Иначе задача не попала бы в программирование) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 25, 2012, 12:03:36 Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 25, 2012, 12:51:12 батенька, во-первых, это не доказательство
во-вторых, задачи выкладываются для того, чтобы ответы на них давали другие) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 25, 2012, 13:00:56 а не так? :tomato: Нет, неправильно. P(n) = 0 + 1/2 + 0 + 1/8 + 0 + ... (1/2)^n, n = 2k-1 P(1) = 0 P(2) = 50% P(4) = 62,5% ... P = 2/3 (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n-1}}) В P(4) встречаются случаи из P(2), значит ты их посчитал 2 раза, надо 1 раз их вычесть. Если P(2,4) - вероятность того что последовательность попала под случай 2 и случай 4, то P(2) + P(4) - P(2,4) И т.д. Например P(2) + P(4) + P(6) - - P(2,4) - P(2,6) - P(4,6) + + P(2,4,6) Не уверен что это решается. Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Michael от Июль 25, 2012, 14:02:58 P(n) - вероятность выиграть за n ходов. :whiteflag: откуда следует твоё "и т.д."? P(1) = 0 // один раз бросили, нечетное, никакой симетрии P(2) = 1/2 // два раза бросали (ОО, РР, РО, ОР). вероятность выиграть 2 из 4-х = 50% далее может вероятность только расти ("вероятность выиграть за n ходов") P(3) = 1/2 // три раза бросали. Нечётное-> на этом ходе не выиграем. // Вероятность не выросла. // П.С. тут важно, что выпало, но это посчитаем на след ходе :-[ P(4) = 1/2 + 1/8 // РООО,РООР (при Р=1/8), РОРО,РОРР (при Р=1/8) // или ОРОО,ОРОР (при Р=1/8) ,ОРРО,ОРРР (при Р=1/8) // т.е. P(4) = P(3) + (1/2) * (1/8) + (0) * (1/8) // + (0) * (1/8) + (1/2) * (1/8) = 1/2 + 1/8 = 0,625 (62,5%) Показать скрытый текст и т.д. Р = 2/3 (~66,67%) P(2)=1/2 P(4)=1/8 P(6)=1/16 P(8 )=3/32 А запрограммировать легко, в чём прикол? Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 25, 2012, 14:27:14 откуда следует твоё "и т.д."? я надеялся каждый сможет накинуть пару "О","Р" и посчитатьP(2)=1/2 вообще-то P(4)=1/8 P(6)=1/16 P(8 )=3/32 (1/2)^5 не есть 3/32 :no2: Нет, неправильно. Вот как бы да, необходимо учитывать этот эффектВ P(4) встречаются случаи из P(2), значит ты их посчитал 2 раза, надо 1 раз их вычесть. напоминаю: P(n) - вероятность выиграть за n ходов. :whiteflag: P(4) = 1/2 + 1/8 // РООО,РООР (при Р=1/8), РОРО,РОРР (при Р=1/8) // или ОРОО,ОРОР (при Р=1/8) ,ОРРО,ОРРР (при Р=1/8) // т.е. P(4) = P(3) + (1/2) * (1/8) + (0) * (1/8) // + (0) * (1/8) + (1/2) * (1/8) = 1/2 + 1/8 = 0,625 (62,5%) ну не знаю. если еще поразмыслить, :-\ получается еще большая вероятность :laugh: Показать скрытый текст Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 25, 2012, 14:30:49 Michael, ну так запрограммируйте, если легко)
Вилли ☂, ещё поразмыслить - это как раз то, что нужно Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 25, 2012, 16:30:12 Давайте по-пунктам :show_heart:
а) при первом броске какова вероятность выиграть? P(1) = 0 б) при втором броске какова вероятность выиграть? P(2) = 1/2 видно из: ОО + ОР - РО - РР+ в) при третьем броске какова вероятность выиграть? смотрим: Показать скрытый текст 4/8 те пункты, когда выиграли (на 2-ом бросании). Итого P(3) = P(2) [иначе быть не могло] = 1/2 г) при четвёртом броске какова вероятность выиграть? смотрим все варианты: Показать скрытый текст 10/16 те пункты, когда выиграли (не важно на 2-ом либо 4-ом бросании). Итого P(4) = 5/8 есть возражения по какому-либо пункту? Прошу комментировать и аргументировать :read: Таки нет. Вероятность, которую я вычислил, ... Покажи, пожалуйста, (под спойлером) ту вероятность, которую ты вычислил. Хотя-бы до 2-ого знака. Уж очень интересно.Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 25, 2012, 16:37:46 Возражений нет, Вы успешно вычислили вероятность того, что первый бог выиграет не позже второго хода. Дальше тоже будете считать руками? =)
Свой ответ выложу позже, программа осталась дома. Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 25, 2012, 16:44:58 Возражений нет, Вы успешно вычислили вероятность того, что первый бог выиграет не позже второго хода. Дальше тоже будете считать руками? =) вроде я расписал всё вплоть до 4-ого броска (а,б,в,г)Свой ответ выложу позже, программа осталась дома. А решение (и формулу) привёл в самом первом посте. P = 2/3 (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n-1}}) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: moonlight от Июль 25, 2012, 21:38:07 Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 26, 2012, 10:38:07 что-то в этом районе, да
чёрт, я так и забыл дома посмотреть свою прогу придётся на работе переписывать её заново Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 26, 2012, 17:26:47 Перечитал / передумал / пересчитал
N = 4 8 10 12 14 ok = 10 182 738 2972 11924 2^N 16 256 1024 4096 16384 P = 0,625 0,7109375 0,720703125 0,725585938 0,727783203 ... набросал программку, посчитал для 4,8,10,12,14 варианта для 18 не дождался :( Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: moonlight от Июль 27, 2012, 12:56:58 Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Michael от Июль 27, 2012, 18:52:07 Вероятность, которую я вычислил, не выражается ни рациональным числом, ни корнем многочлена какой-нибудь разумной степени, ни простой комбинацией различных констант типа пи, е и так далее. Sirion, можно с этого места поподробнее? На каком знаке после запятой вы поняли что ответ - иррациональное число?:)Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Вилли ☂ от Июль 31, 2012, 09:50:28 Sirion, можно с этого места поподробнее? На каком знаке после запятой вы поняли что ответ - иррациональное число?:) :whiteflag: :whiteflag: :whiteflag: навено сразу после того, как перебрал все комбинации иррациональных чисел со всеми возможными коэфф. простой комбинацией различных констант типа пи, е и так далее. Показать скрытый текстНазвание: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 31, 2012, 13:16:40 Пардоньте, я как-то совсем позабыл про эту тему.
Есть такая штука как Inverse Symbolic Calculator (http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Symbolic_Calculator) Он занимается как раз тем, что пытается представить данный ему огрызок десятичной дроби в какой-нибудь удобоваримой форме. Если это ему не удаётся - либо такой формы нет, либо она ну очень экзотична. Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Крипто от Июль 31, 2012, 13:50:35 Один вопросик. Две решки(орла) считаются за выигрыш?
Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Июль 31, 2012, 14:52:59 Конечно.
Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Michael от Июль 31, 2012, 19:18:33 :whiteflag: :whiteflag: :whiteflag: :good2:навено сразу после того, как перебрал все комбинации иррациональных чисел со всеми возможными коэфф. Показать скрытый текст Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Август 06, 2012, 21:15:04 Я наконец восстановил свою программу для вычисления этой замечательной константы. С точностью до пятидесятого знака ответ будет таков: 0.73221315978211088762332859641569744744494010200652
Дело за малым: найти оставшиеся 50 знаков =) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: nikenbiraki от Ноябрь 06, 2012, 12:27:14 Нечетные броски не рассматриваем так как там вероятность выиграть равна 0
1) при втором броске какова вероятность выиграть? P(2) = 1/2 00 + 01 - 10 - 11 + 2) при четвёртом броске какова вероятность выиграть? если мы дошли до 4-того броска, значит все броски которые начинаются на 00 и 11 не учитываюся, потому что при этой комбинации 1 Бог победил еще на 2-ром ходу, отметим их - Х 0000 - Х 0001 - Х 0010 - Х 0011 - Х 0100 - 0101 - 0110 + 0111 - 1000 - 1001 + 1010 - 1011 - 1100 - Х 1101 - Х 1110 - Х 1111 - Х в итоге мы имеем 2/8 или 1/4 общая вероятность P = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... имеем постоянно убывающую геометрическую прогрессию с шагом q = 1/2 отсюда P = a1/(1-q) = 1/2 / (1 - 1/2) = 1 Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: moonlight от Ноябрь 08, 2012, 19:03:16 0.732213159782110887623328596415697447444940102006515467923688111488785062214767237146455237761438631565335535527926688493123532836185728551458374365759707361061655972809445525900795420589049620282341598430708923525303042807548570712970037195261212195505272635147682786948793428753806739533378445773745345130443339309589692047442056467983324001761331083220327296899993701875189789987780133622909994268036837375633998745553095937881589712132192693099685036472780214468103987151935274781431258740853431445056096788808597662346767893412136912448746151355748364219765425540684775010082521870787413246694802826712932857153018100521858985756151604661758114333096618412044119583625317403601306288387093670905509644765691949093095595105891799813325452902328612000002474753252261999712080821735949194356995031511257200309343432766773845524095313739622200415283372264417243426008799665580893511601663080405825460074367131500665169761553587998978250978219909647109046775279413513153773766470816893375084753656772
Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: Sirion от Декабрь 03, 2012, 15:55:44 И действительно, таки ня.
Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: mayer от Декабрь 04, 2012, 10:12:58 Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: dimon3454 от Март 17, 2013, 10:11:39 Но тут вмешался я и что у меня получилось:-)
A-кол-во бросков n1-решка n2 - орел Если А=(например)10 то казалось бы вероятность 50/50( n1/n2) НО если это английская монетка то ученые доказали что вероятность равна 67.2/32.8 и даже вычисляем: n1 : n2 дальше сами:-) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: пестерь от Март 17, 2013, 10:28:32 Но тут вмешался я и что у меня получилось:-) в условии монета симметричнаяA-кол-во бросков n1-решка n2 - орел Если А=(например)10 то казалось бы вероятность 50/50( n1/n2) НО если это английская монетка то ученые доказали что вероятность равна 67.2/32.8 и даже вычисляем: n1 : n2 дальше сами:-) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: ☭-Изделие 20Д от Март 17, 2013, 16:07:20 Но тут вмешался я и что у меня получилось:-) А что если одну сторону монетки намазать маслом ??? - заодно закроем закон бутерброда. :cool3:A-кол-во бросков n1-решка n2 - орел Если А=(например)10 то казалось бы вероятность 50/50( n1/n2) НО если это английская монетка то ученые доказали что вероятность равна 67.2/32.8 и даже вычисляем: n1 : n2 дальше сами:-) Название: Re: Два бога и монетка (программирование) Отправлено: or0ez от Декабрь 23, 2019, 11:13:09 программа на С.
число вычисляемых знаков пропорционально N:(2.4*N). Код: #include <stdio.h> |