|
Название: Кто чемпион? Отправлено: fortpost от Август 21, 2012, 23:33:47 Футбольный турнир проходил в один круг. За победу давалось 3 очка, за ничью — 1, поражение — 0 очков. Могло ли так случиться, что команда, занявшая первое место по старой системе подсчета очков (за победу — 2 очка, ничья — 1 очко), была бы последней, а команда, бывшая последней по старой системе, заняла бы первое место? (Имеются в виду чистое первое и чистое последнее место по количеству набранных очков.)
Название: Re: Кто чемпион? Отправлено: Um_nik от Август 22, 2012, 00:38:29 Название: Re: Кто чемпион? Отправлено: Um_nik от Август 22, 2012, 09:51:05 Название: Re: Кто чемпион? Отправлено: fortpost от Август 22, 2012, 10:26:39 Um_nik, гениально! Даже автор не знал минимального числа команд ( у него в решении их 65). :good2:
Название: Re: Кто чемпион? Отправлено: Um_nik от Август 22, 2012, 10:59:47 о_О
внезапно Название: Re: Кто чемпион? Отправлено: moonlight от Август 23, 2012, 09:11:57 Вот ещё один вариант решения.
Пусть победитель выиграл X матчей, сыграл вничью Y и проиграл Z. У команды занявшей второе место результат {X-dX; Y+dX+dZ; Z-dZ}. 3X+Y>3(X-dX)+(Y+dX+dZ) 2X+Y<2(X-dx)+(Y+dX+dZ) Отсюда получаем 0<dX<dZ<2dX Самый простой вариант dX=2 dZ=3. Считаем что все остальные (кроме последней) команды сыграли так же как и вторая, у последней dX'=2dX=4 dZ'=2dZ=6. А теперь балланс побед и поражений X+(X+Y+Z-1)(X-2)+(X-4)=Z+(X+Y+Z-1)(Z-3)+(Z-6), X>=4, Y>=0, Z>=6. После упрощений получаем X2+2X+1-Z2+YX+Y-YZ=0 (X+1-Z)(X+1+Z)+Y(X+1-Z)=0 (X+Y+Z+1)(X+1-Z)=0. Минимальное решение X=5 Y=0 Z=6. |