Форум умных людей

Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

Одна точка, кроме стартовой? Или вообще одна?

Вообще одна.

а стартуют они из одной точки?

Видимо, да.

Да могут, при условии что место встречи (попарно) постоянно в стартовой точке. При этом все должны проходить целое число кругов.  Т.е должно выполняться 2 условия: х/(х-у) и у/(х-у) целые числа, где х и у попарные скорости.

Пример: 3 - 2,3,4
4 - 12, 14, 15, 16
5 - 24, 26, 27, 28

ну и т.д. я к первой 3 тупо прибавлял 12, 24, 36 и т.д.

С различными постоянными скоростями могут. Методом подбора получается, что богатыри со скоростями 5 м/с, 4 м/с и 3 м/с (не обязательно такие), будут проходить 10 метровый круг (теоретически), а точка обгона будет у "финиша", то на 4 круге самый быстрый встанет за самым медленным и будет тянуться за ним до точки обгона. А такое чередование может проходить бесконечно, и богатырей не 3, а 33, следовательно, ехать они так могут неограниченно долго.

зависит от ширины дороги - тогда каждый сможет ехать по кругу своего диаметра

Раз тут они просто едут, без дополнительных условий, то ширина дороги не столь важна, мне кажется.

Не могут в принципе.Самый быстрый догонит самого медленного и будет плестись до точки обгона,но его скорость уже не постоянна,пришлось снизить пока доплелись до точки обгона.

Даже два богатыря не могут ехать с постоянной различной скоростью с одной точкой обгона,не говоря уже о большем количестве.

Условие задачи  не применимо в принципе в данном случае.

Надо, чтобы скорости любых 2 богатырей относились как 1+1/n. Кажется, я придумал как это сделать.
Показать скрытый текст Если, конечно, меня не глючит.

может ответ уже есть, но вот моё
скорость самого быстрого =1, тогда остальные например 32/33, 31/32, 30/31 и тд

Я прозевал тут, я думал, чтобы постоянно была различная скорость, а не постоянная различная

Tim0512 - правильная идея! :good:

а в одной точке могут пересекаться несколько или только двое?

Видимо несколько, иначе вряд ли получится

это не подходит чтоли?

Скорость самого медленного богатыря 1/2. Тогда, например, (32/33)/(32/33-1/2)=64/31, а оно не целое.

Пусть все богатыри стартуют одновременно из одной точки.
Занумеруем их по возрастанию скоростей - самый медленный  1-й, самый быстрый 33-й.
Их скорости V1, V2,...V33.
Обозначим R12 разность V2-V1, R13 разность V3-V1, ... R3233 разность V33-V32.

--------------------------
Условие делимости:
Пусть V5 делится нацело на (V10-V5), например, V5 / (V10-V5) = 3. Тогда когда 5-й сделает 1 круг, 10-й обгонит его на 1/3 круга, когда 5-й сделает 2 круга, 10-й обгонит его на 2/3 круга, когда 5-й сделает 3 круга, 10-й обгонит его на целый круг и они встретятся только в точке старта.
----------------------

Аналогично
богатыри 5 и 6 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на (V6-V5)=R56
богатыри 5 и 7 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на (V7-V5)=R56 + R67
богатыри 5 и 8 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на (V8-V5)=R56 + R67 + R78
...
...
...
богатыри 5 и 33 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на
(V33-V5)=R56 + R67 + R78 + ... + R3031 + R3132 + R3233

Если V4 и R45 оба делятся на
х=R56*(R56+R67)*(R56+R67+R78)...*(R56+R67+R78+...+R3031+R3132+R3233),
то V5 = V4 + R45 тоже будет делится на х.

Будем определять разности R, начиная с конца, пусть
R3233=1
R3132=R3233
R3031=R3132*(R3132+R3233)
R2930 = R3031 * (R3031+R3132) * (R3031+R3132+R3233)
...
R12=R23 * (R23+R34) * (R23+R34+R45) * ... * (R23+R34+R45+...+R3231+R3332)

Наконец пусть
V1=R12 * (R12+R23) * (R12+R23+R34) *... * (R12+R23+R34+...+R3231+R3332).

Тогда
V2=V1+R12 делится на R23 * (R23+R34) * (R23+R34+R45) * ... * (R23+R34+R45+...+R3231+R3332),
V3=V2+R23 делится на R34 * (R34+R45) * (R34+R45+R56) * ... * (R34+R45+R56+...+R3231+R3332),
.............
V32=V331+R3132 делится на R3233.
Таким образом, для любых двух богатырей выполняется Условие делимости:.
Получилось запутанно, но как проще не знаю.

Michael, красиво, но длинновато. А авторское решение такое вот.
Показать скрытый текст

fortpost, с авторским решением что-то не ладится. P=2*3*4=24. v4= P – u=24 -2=22. 2/(22-2) - не целое. Или я что-то не догоняю?  ???

Michael, делаем так.
P=u*v*w=2*3*4=24. u₁=P-u=24-2=22; v₁=P-v=24-3=21; w₁=P-w=24-4=20; y=P=24.
Можно убедиться, что для этих значений нужное соотношение выполняется.