Форум умных людей

1. Является ли число 6(в степени 2013)+ 1 составным?
2. В треугольнике АВС сторона АВ=2, угол А равен 60 градусов, угол В равен 70 градусов.  На стороне АС взята точка Д такая, что АД=1. Найти углы треугольника ДВС.

1. 6²⁰¹³+1=(6⁶⁷¹)³+1=(6⁶⁷¹+1)((6⁶⁷¹)²-6⁶⁷¹+1) - составное

с углами тоже не представляется проблем: есть две стороны, соотносимые как 2:1 и угол между ними в 60 градусов. найти углы АБД и ДБА, а также размер отрезка БД, полагаю, не составит труда, так что угол Д уже найден априори.

  Интересно посмотреть ваше решение.

2. Т.к. AD:AB=1:2, то угол D=90º, поскольку катет, прилегающий к углу 60º, равен половине гипотенузы. Тогда угол DBC=70º-30º=40º и угол C=180º-90º-40º=50º

Спасибо! Ещё 2 задания:

(http://s45.radikal.ru/i107/1210/1e/23761ec6e136.jpg)

(http://s017.radikal.ru/i441/1210/f4/0b1edc2a6b46.jpg)

7. Домножим и разделим каждую дробь на сопряженное, тоесть, например, 1/(1+к2) (к2=корень из двух) домножим и разделим на (к2-1), получим (к2-1)/1=(к2-1). Таким образом каждая дробь вида 1/(кN+к(N+1)) представима в виде (к(N+1)-кN).
Тоесть нужно подсчитать сумму
-1+к2-к2+к3-...-к2008+к2009=к2009-1

2)   9,876³-27     (9,876-3)(9,876²+3∙9,876+9)     9,876²+3∙9,876+9
    ───────── = ───────────────────── = ──────────────
    9,876∙6,876               9,876(9,876-3)                           9,876


 9,876²+3∙9,876+9                 9,876²+3∙9,876+9 - 9,876²   3∙9,876+9
────────────── - 9,876 = ─────────────────── = ────────
         9,876                                          9,876                             9,876


12,876²    3∙9,876+9     (9,876+3)²     9,876+3
───── : ──────── = ───────── = ────── = 3,292+1
 9,876        9,876          3∙(9,876+3)          3

3,292+1-3,292=1

Число P(n) является произведением цифр числа n.
Вычислите:
P(1000)+P(1001)+P(1002)+...+P(2012)

P(1000)+...P(1110)=0

P(1111)+...+P(1119)=9*(1+9)/2=45
P(1121)+...+P(1129)=2*45
                   
               и.т.д.

P(1191)+...+P(1199)=9*45
Всего 45+2*45+3*45+...+9*45=45(1+...+9)=45*45

P(1200)+...P(1210)=0
P(1211)+...+P(1299)=2*45*45

P(1300)+...P(1310)=0
P(1311)+...+P(1399)=3*45*45
                    и.т.д.
P(1900)+...P(1910)=0
P(1911)+...+P(1999)=9*45*45

P(2000)+...P(2012)=0

Итого: 45*45+2*45*45+...+9*45*45=45*45*(1+...+9)=45³.

2. Теплоход прошел путь от А до В по течению за 3 часа. Обратный путь занял у него 4 часа. За сколько часов пройдет расстояние от А до В плот?
3. Решите уравнение: 2x(2)+y(2)+2xy+2x-3=0
4. Число "а" не равно 0 и является одним из корней уравнения: -5x+bc-10=0. Выразите через "а" корни уравнения:          -10x+bc-5=0.
5. На районной олимпиаде по математике 6 задач. За решенную задачу начисляется 10 баллов, а за нерешенную отнимается 3. В следующий тур проходят дети, набравшие больше 30 баллов. Сколько задач нужно решить, чтобы пройти в следующий тур?

2. V - скорость теплохода, V1 - скорость течения
S/(V+V1)=3
S/(V-V1)=4
S=3(V+V1)=4(V-V1)
V=7V1
S=3(7V1+V1)=24V1
T=S/V1=24V1/V1=24
Плот пройдет за 24 часа

5. Четыре задачи

1. Существует ли 2012 целых чисел произведение которых равно двум, а сумма равна 0?
2. Мистер Твистер хочет купить завод, газету и пароход. Если он купит только завод, то у него останется 3 млн. долларов. Если он купит только пароход, то у него останется 4 млн. долларов. Если же он купит только газету, то у него останется 8 млн. долларов. Хватит ли денег Мистера Твистера, чтобы купить одновременно завод, газету и пароход?
3. Числа х1, х2, х3,..., х2012 принадлежат промежутку [0;1]. Доказать неравенство:
(x1 умножить на х2 умножить на х3 ... умножить на х2012) + (1-х1)(1-х2)(1-х3)...(1-х2012) меньше или равно 1.
При каких значениях х1, х2, х3, ... , х2012 может достигаться равенство?
4. Даны 10 точек, являющихся вершинами выпуклого десятиугольника. Какое наибольшее число треугольников с вершинами в этих точках можно выбрать таким образом, чтобы каждый треугольник имел сторону, не являющуюся стороной других выбранных треугольников?

1. Не существует.
2. Не хватит.

3. Используем метод мат. индукции.
  1) x₁+(1-x₁)=1<=1
  2) Пусть x₁*x₂*...*x_n-1+(1-x₁)...(1-x_n-1)<=1
  3) Докажем, что неравенство верно для n
   x₁*...*x_n-1*x_n=((x₁*...*x_n-1)²(x_n)²)^0,5<=((x₁*...*x_n-1)²+(x_n)²)/2<=(x₁*x₂*...*x_n-1)/2+(x_n)/2.
Аналогично доказывается, что
(1-x₁)...(1-x_n)<=((1-x₁)...(1-x_n-1))/2+(1-x_n)/2. 
Сложив полученные неравенства, используя индуктивное предположение 2) получим
x₁*x₂*...*x_n+(1-x₁)...(1-x_n)<=(x₁*x₂*...*x_n-1+(1-x₁)...(1-x_n-1))/2+1/2<=1.   

4. -5a+bc-10=0 -> a=(bc-10)/5
    -10x+bc-5=0 -> x=(bc-5)/10=(bc-10+5)/10=(bc-10)/10+1/2=1/2(bc-10)/5+1/2=(a+1)/2

Если правильно понял условие, то 36. (8+7+6+5+4+3+2+1)

10 точек можно соединить 10*9/2=45 отрезками. Из 45 отрезков можно построить не более 45/3=15 треугольников, но все отрезки использовать не получится - максимум 13 треугольников.
Осталось это доказать.))

бивис, у вас склонность к усложнению решений?  наблюдаю уже не в первый раз )))

в каждом слагаемом все сомножители кроме первого заменим на 1, получим требуемое неравенство
x₁*x₂*...*x_n+(1-x₁)...(1-x_n) <= x₁ + (1-x₁) <= 1

а можно ещё проще - представьте, что слагаемые - это объёмы двух непересекающихся гиперпараллелепипедов внутри единичного гиперкуба

у каждого треугольника требуется только одна сторона, которой он не хочет делиться с остальными.  две другие стороны могут быть общими с кем-то