Форум умных людей

:whiteflag:  :whiteflag:

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую - оставшиеся кубы.

Чтобы понять, как догадаться до такого разбиения, решим следующую более общую задачу. Докажем, что любые 2ⁿ чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы для любого многочлена степени не выше (n-1) сумма значений этого многочлена в числах из одной группы была равна сумме значений этого многочлена в числах из другой группы (ясно, что исходная задача есть частный случай этой задачи для n=4 и арифметической прогрессии 1,2,...,16). Применим индукцию по n. При n=1 утверждение нащей общей задачи очевидно. Пусть оно верно при n=k, докажем его при n=k+1. Обозначим m=2^k. Пусть имеется арифметическая прогрессия из 2m=2^k+1 членов, из которых первые m членов обозначим a1, a2, ... , am, а следующие m членов обозначим b1, b2, ... , bm. Разделим числа a1, a2, ... , am на две группы A' и A'' так, чтобы выполнялось предположение индукции. Далее, разделим числа b1, b2, ... , bm на группы B' и B'' так, чтобы bi входило в группу B' тогда и только тогда, когда ai входит в группу A'. Объединим теперь A'c B''и A'' с B'. Покажем, что этим получено нужное разбиение чисел a1, a2, ... , am, b1, b2, ... , bm. Рассмотрим некоторый многочлен P(x) степени не выше k. Покажем, сумма значений P(x), где x пробегает числа из одной группы, равна сумме значений P(x), где x пробегает числа из другой группы. Обозначим c=bi-ai (поскольку a1, a2, ... , am, b1, b2, ... , bm - арифметическая прогрессия, разности bi-ai одинаковы при всех i от 1 до m). Рассмотрим разности R(ai) = P(bi)-P(ai) = P(ai+c)-P(ai), i=1,2,...,m. Достаточно заметить, что сумма величин R(ai) по всем ai из A' равна сумме величин R(ai) по всем ai из A''. Но это следует из предположения индукции, поскольку в разности P(ai+c)-P(ai) многочленов от ai (с считаем постоянной) сокращается старшая степень, то есть R(ai) является многочленом от ai степени не выше k-1. Утверждение доказано по индукции.