Форум умных людей

№2 Есть 3 урны одного и того же состава: в каждой n белых и m черных шаров. Из 2-х урн наугад достали по одному шару, остальные шары из каждых этих урн высыпали в третью. После этого из 3 урны достали шар, который оказался черным. Какова вероятность того, что из первой урны достали белый шар?

Хитрая задачка. За правильность решения не ручаюсь, но чё-то мне кажется, что оно-таки верное.

Для начала рассмотрим простейший случай :

(http://axby.mksat.net/1.jpg)

В двух урнах находится по два шарика - белый и чёрный.
Из урны №1 берётся наобум взятый шарик и ложится в урну №2, после чего из неё берётся случайный шарик, который на поверку оказывается чёрным. Вопрос : какова вероятность того, что первый шарик был белым ?
Если бы мы не знали, что второй шарик - чёрный, эта вероятность была бы равна 1/2 ; а так получается, что на неё повлияла информация, полученная позже. Такой себе "временной парадокс", из-за которого не получается решить эту задачу тривиальным путём. Скажем, можно рассуждать так : если первый шарик был белым, то вероятность вытащить из второй урны чёрный равна 1/3 ; если же первый шарик был чёрным - 2/3. Следует ли из этого, что вероятность того, что первый шарик был белым, равна 1/3 ; а чёрным, соответственно - 2/3 ? Чтобы ответить на этот вопрос, немного усложним ситуацию :

(http://axby.mksat.net/2.jpg)

  Отличие от первого случая состоит лишь в том, что во вторую урну добавлен один чёрный шарик. Теперь применим к этому случаю те же рассуждения. Если из первой урны достали белый шарик, вероятность того, что из второй достанут чёрный равна 2/4 ; если первый шарик был чёрным - она равна 3/4. Если на основании этого сделать вывод, что вероятность того, что первый шарик был белым, равна 2/4, а чёрный, соответственно - 3/4, то становится ясна ошибочность этих рассуждений, поскольку сумма этих вероятностей должна составлять единицу.
  Иформация о том, что взятый из второй урны шарик - чёрный, каким-то образом перераспределяет вероятности всех предыдущих событий. Сложность в том, что все эти действия приходится осуществлять в обратном порядке. Будем рассуждать следующим образом  : если шарик из первой урны - чёрный, то вероятность достать из второй урны чёрный шарик в 2 раза больше, чем если бы первый шарик был белым (применительно к первому случаю). Следовательно, если мы знаем, что второй шарик - чёрный, то вероятность того, что первый шарик был чёрным, в 2 раза больше, чем он был белым. Чтобы при этом сумма вероятностей равнялась единице, эти вероятности должны быть 2/3 и 1/3 соответственно. Применяя эти рассуждения ко второму случаю, получаем следующее. Если первый шарик - чёрный, вероятность того, что второй будет чёрным равна 3/4 ; если белый - 2/4. То есть, чёрный шарик, переложенный во вторую урну, увеличивает вероятность вытаскивания чёрного в 1.5 раза по сравнению с белым. Следовательно, тот факт, что из второй урны быт вынят чёрный шарик, увеличивает вероятность того, что и первый шарик был чёрным в 1.5 раза в сравнении с белым. Чтобы их вычислить, достаточно решить систему уравнений (P1 - вероятность того, что первый был чёрным ; P2 - белым)  :
{ P1 / P2 = 3/2 ;  P1 + P2 = 1 }, из которой находим, что P2 = 2/5

Можно ещё немного усложнить задачу :

(http://axby.mksat.net/3.jpg)

Здесь шарик добавлен не во вторую урну, а в первую, так что в отличии от первого случая, где начальное соотношение вероятностей было 1 : 1, здесь оно равно 2 : 1. Как и в первом случае, чёрный шарик, вынятый из первой урны, в 2 раза (в сравнении с белым) увеличивает вероятность вытащить чёрный из второй урны. Следует ли из этого увеличение начального соотношения вероятностей в 2 раза ? Если да, то решение следующей системы уравнений является верным решением : { P1 / P2 = 4 ;  P1 + P2 = 1 }. И как следствие, является верным следующее решение предложенной задачи.

Количество шаров в третьей урне после того, как в неё переложили шары из первых двух, равна 3n+3m-2.
Математическое ожидание количества вынутых из первых двух урн белых шаров, как и чёрных, равно 1. Следовательно, матожидания белых и чёрных шаров в третьей урне равны, соответственно, 3n-1 и 3m-1. Если из 1-й урны достали белый шар, матожидание чёрных шаров в 3-й урне становится равным 3m-0.5, а белых 3n-1.5 ; для чёрного наоборот - 3m-1.5 и 3n-0.5 соответственно. По аналогии с предыдущими рассуждениями, вероятность вытащить из третьей урны чёрный шар будет в (3m-0.5) / (3m-1.5) раз больше, если вынутый из первой урны шар был белым (в сравнении с тем, если бы тот был чёрным). Обозначив это соотношение через K, соотношение вероятность вытаскивания белого шара из первой урны через P1, чёрного - через P2, мы получим следующую систему уравнений :

{ P1 / P2 = n/m * K ; P1 + P2 = 1 }

Здесь n/m - начальное соотношение вероятностей вытащить белый или чёрный шар, равное отношению их количеств ; K - "поправочный" коэффициент, корректирующий это соотношение с учётом информации о том, что из третьей урны вытащили чёрный шар.

Откуда находим P1 = 1 / (1 + m / (K*n))

  Прогнал это дело на эмуляторе - экспериментальные результаты совпадают с теоретическими, так что можно смело использовать данное решение для подобного типа задач.

Не уверен в решении, но я все же скажу. Вероятность вытащить белый шар из первой урны
n/(n+m). И не важно, что потом произошло, ведь выбор уже сделан.
Короче, так просто это сложно объяснить. Это вроде парадокса Монти Хола( про двух коз и автомобиль за тремя дверьми). Почитайте на википедии, если надо.

Ну а теперь правильный ответ. (когда он никому не нужен). По  формуле Байеса.

(http://mathurl.com/p4s8g3k.png)

Мне нужен. И мало ли кому еще