Форум умных людей

Вокруг поляны стоят 12 домиков,покрашенных в белый и красный цвет,в которых живут 12 гномов.У каждого гнома нечетное число друзей.В январе первый гном красит свой домик в тот цвет, в который окрашены дома большинства из его друзей.В феврале это же делает второй по часовой стрелке гном, в марте-третий и т.д.Докажите что через несколько лет цвет дома у каждого гнома будет оставаться одним и тем же.

Показать скрытый текст

А тут не требуется доказывать, что цвета будут одинаковые (тем более, что это вовсе не обязательно произойдет, т.к. они могут дружить и не только между собой, а каждая пара состоит из четного кол-ва друзей), в задаче требуется доказать, что цвета перестанут меняться.

а когда все станет одного цвета, что  будет меняться?

Конечно ничего, только это всего лишь возможный частный случай, который вовсе не исключает того, что также могут перестать меняться и различные цвета у домов, когда дружат не только между собой. По-моему, доказательство должно основываться на всесторонности, а не на умозаключениях при рассмотрении удобного варианта.

предложите, не очень понял, в чем удобный вариант. И чего не всестороннего. Пара друзей, не означает, что дружат только по двое

В задаче требуется доказать, что цвет домов у каждого гнома перестанет меняться. К примеру, если гном № 1 дружит с гномами №№ 2, 3 и 4, из которых только дом гнома № 2 имеет красный цвет, то он так и останется красным, если гном № 2 дружит, предположим, с гномами №№ 1, 8, 9, из которых только дом гнома № 1 имеет белый цвет. То есть, гномы №№ 3 и 4 не дружат с гномом № 2. В свою очередь, гном № 8 дружит с гномами №№ 2, 6 и 9, у которых преимущественно красный цвет, а гном № 9 - с гномами №№ 2, 7 и 8, у которых также преимущественно красный цвет.
Допускаю также, что и я мог не так понять, что Вы на самом деле подразумевали под "цвета станут одинаковые", "пара друзей", "между собой" и "по двое".

Еще раз.
1. Всех гномов можно разбить на пары друзей. В вашем примере у гнома 1 таких пары 3. 1-2; 1-3; 1-4 и т.д.
2. В этих парах есть два варианта: цвет  паре одинаковый; цвет в паре разный.
3. По мере окраски количество пар с разным цветом может только уменьшаться. Увеличиваться никак.
4. Так как есть переменная, которая строго уменьшается и ее минимум 0 в итоге количество пар с разными цветами станет равным 0. Это доказывает, что цвет домиков меняться не будет.

Ну вопервых не
потому как необязательно
може ещё и не изменяться вовсе

Так что ноль это не минимум, а лишь ограничение снизу

Согласен, количество пар либо не изменяется, либо уменьшается. Только не вижу в чем противоречие, что в итоге будет 0?

Ну  давай пример приведу.
Дружат 2 группы по 6 гномов. И еще 2 гнома из первой группы дружат с двумя гномами из второй.
В каждой группе цвет домиков разный. И меняться он не будет. Но при этом  количество друзей с домами разного цвета не нулевое

Так количество друзей вроде нечетно должно быть, или я тебя не понял

Ну да. В группе 6 гномами. Каждый дружит с пятью. А двое из каждой группы с 7 гномами

Понял, согласен. Такую ситуацию я не продумал. Но она, исходно соответствует ответу. Цвета меняться не будут. Непонятно, что в такой ситуации доказывать

Если я тебя правильно понял, тогда ответ должен быть, либо наступление 0, либо прохождение полного круга без изменения количества пар друзей разного цвета

Это лишь пример.
У тебя фактически правильное доказательство, кроме этого нуля.
Тут надо лишь заметить, что количество пар друзей с разными цветами конечно и  при изменении цвета оно уменьшается. Соответственно конечное положительное число бесконечно уменьшаться не может

Никогда до конца не понимал такие задачи

Собственно, в доказательство просто надо было добавить, что, если домик перекрашивается, число пар строго уменьшается. Бесконечно оно уменьшаться не может, поэтому рано или поздно перекрашивания прекратятся.