Форум умных людей

Задачи и головоломки => Математические задачи => Тема начата: Питер Пен от Август 20, 2013, 23:46:45



Название: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Август 20, 2013, 23:46:45
В честь закрытия летнего сельского мото-сезона из двух пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу стартуют два мотоциклиста и начинают курсировать между этими пунктами, доезжая до них и сразу же разворачиваясь назад. На их пути находятся 2 поста ДПС – один из них (ближайший к пункту Б) находится на расстоянии 50 км от пункта Б.
Первая встреча мотоциклистов произошла на расстоянии 110 км от пункта А, а вторая состоялась уже на расстоянии 170 км от пункта Б.
Какое расстояние между постами ДПС, если известно, что обоих мотоциклистов в одно и тоже время после их первоначального выезда из своих начальных пунктов остановили на ближайшем посту ДПС, задержав на одинаковое время для проверки документов?

http://www.youtube.com/watch?v=6rsUIg9cIls


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: buka от Август 22, 2013, 21:58:29
В честь закрытия летнего сельского мото-сезона из двух пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу стартуют два мотоциклиста и начинают курсировать между этими пунктами, доезжая до них и сразу же разворачиваясь назад. На их пути находятся 2 поста ДПС – один из них (ближайший к пункту Б) находится на расстоянии 50 км от пункта Б.
Первая встреча мотоциклистов произошла на расстоянии 110 км от пункта А, а вторая состоялась уже на расстоянии 170 км от пункта Б.
Какое расстояние между постами ДПС, если известно, что обоих мотоциклистов в одно и тоже время после их первоначального выезда из своих начальных пунктов остановили на ближайшем посту ДПС, задержав на одинаковое время для проверки документов?

http://www.youtube.com/watch?v=6rsUIg9cIls

Без алгебры не получится :(
Показать скрытый текст


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 23, 2013, 14:18:15
Мысли такие:
Если мотоциклист, выехавший из п.А проехал 110 км, то до следующей встречи он должен был проехать 2 таких расстояния 110 +110 = 220 км. При второй встрече он находился 170 км от Б, то есть, он 220 - 170 = 50 км - место первой их встречи, что совпадает с п. ДПС, ближний к п. Б. А задерживали их в одно и то же время??То есть, пункты ДПС в одном месте ???



Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 23, 2013, 14:40:18
Тогда как может быть расстояние 170 км от Б???


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 23, 2013, 18:16:33
Хотя мотоциклисты могли встретиться и в попутном направлении, а не навстречу друг другу.


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 29, 2013, 19:00:22
Питер Пен, давай решение:)


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Август 29, 2013, 19:18:22
Нет, RD, я не дам тебе сдаться – будем решать поэтапно!
Ты, кстати, верно заметил, что их вторая встреча может произойти необязательно при их одновременном возвращении назад…
Считай, что вопрос в условии задачи временно меняется и сейчас он звучит ТОЛЬКО так: Каков был маршрут мотоциклистов (кто куда ехал) в момент их второй встречи ?
Для этого определи все их несколько возможных вариантов и чисто арифметически «прикинь», какой из них (единственный) удовлетворяет условию задачи.
Это уже будет составлять 70 % решения.
 ;)



Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 29, 2013, 19:20:54
Нет, RD, я не дам тебе сдаться – будем решать поэтапно!
Ты, кстати, верно заметил, что их вторая встреча может произойти необязательно при их одновременном возвращении назад…
Считай, что вопрос в условии задачи временно меняется и сейчас он звучит ТОЛЬКО так: Каков был маршрут мотоциклистов (кто куда ехал) в момент их второй встречи ?
Для этого определи все их несколько возможных вариантов и чисто арифметически «прикинь», какой из них (единственный) удовлетворяет условию задачи.
Это уже будет составлять 70 % решения.
 ;)
Да я это все уже продумал:) Только лень было. Хорошо. Сдаваться не буду. Подумаю еще.




Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 29, 2013, 19:26:08
Нет, RD, я не дам тебе сдаться – будем решать поэтапно!
Ты, кстати, верно заметил, что их вторая встреча может произойти необязательно при их одновременном возвращении назад…
Считай, что вопрос в условии задачи временно меняется и сейчас он звучит ТОЛЬКО так: Каков был маршрут мотоциклистов (кто куда ехал) в момент их второй встречи ?
Для этого определи все их несколько возможных вариантов и чисто арифметически «прикинь», какой из них (единственный) удовлетворяет условию задачи.
Это уже будет составлять 70 % решения.
 ;)
Можешь называть меня Русланом. К черту интернетный этикет:))))



Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Август 29, 2013, 19:30:45
Спасибо, Руслан!  :)
Давай рассмотрим первый вариант: второй раз мотоциклисты встретились, когда оба возвращались назад.
В этом случае ответь на следующие 3 вопроса:
1. Сколько бы они совместно проехали расстояний от А до Б?
2. Сколько бы в этом случае проехал мотоциклист, первоначально следовавший из А в Б, а потом назад из Б в А?
3. Какое бы тогда могло быть расстояние между А и Б с учетом того, что расстояние от места второй встречи до Б по условию было 170 км?


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 29, 2013, 19:36:14
Я, кажись, писал уже о этом варианте.
Мотоциклисты, как ни крути, вдвоем проедут целый отрезок АБ. Так было при первой встрече. При второй встрече, в направлении к друг другу, они бы проехали по два первоначальных расстояния. То есть, тот, который при первой встрече проехал 110 км, при второй проехал бы 220.


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Август 29, 2013, 19:39:08
От А до момента встречи + от Б до момента встречи = 1
От момента встречи до Б + от момента встречи до А = 1
От Б до момента второй встречи + от А до момента второй встречи = 1
Итого: 3

Сколько бы тогда в этом случае проехал мотоциклист, первоначально следовавший из А?


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Август 29, 2013, 20:01:07
От А до момента встречи + от Б до момента встречи = 1
От момента встречи до Б + от момента встречи до А = 1
От Б до момента второй встречи + от А до момента второй встречи = 1
Итого: 3

Сколько бы тогда в этом случае проехал мотоциклист, первоначально следовавший из А?
Я ж вроде то же самое писал. От А до 1 -й встречи 110 + 220 до 2- й встречи. А находился он 170 км от Б. Значит он должен был бы находиться в момент первой встречи 220 - 170 = 50 км. Но в таком случае весь путь должен был бы составлять 110 +50 = 160, а он при второй встрече был 170 км от Б по условию.


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Август 29, 2013, 20:09:48
Все верно, следовательно, они не могли встретиться, когда оба одновременно ехали в противоположных направлениях.

Второй вариант: Выехавший из А мотоциклист ехал быстрее мотоциклиста, выехавшего из Б, и второй раз встретил его на пути, когда тот еще ехал в пункт А ?
 


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Сентябрь 17, 2013, 16:25:31
У меня такое ощущение, что кто-то прогуливает, а, Tim0512, Fortpost  и др.?!
Крипто, помню, ты писал, что не любишь непонятные условия - так эта задача как раз для тебя!
RD, кстати, ее уже успешно начал решать, поэтому, думаю, он спокойно может помочь мне быть ассистентом, а RD?


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Крипто от Сентябрь 17, 2013, 16:47:23
У меня такое ощущение, что кто-то прогуливает, а, Tim0512, Fortpost  и др.?!
Крипто, помню, ты писал, что не любишь непонятные условия - так эта задача как раз для тебя!
RD, кстати, ее уже успешно начал решать, поэтому, думаю, он спокойно может помочь мне быть ассистентом, а RD?
Да условие однозначное. Апну чтоб не потерять, подумаю на досуге)


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Сентябрь 17, 2013, 16:54:02
У меня такое ощущение, что кто-то прогуливает, а, Tim0512, Fortpost  и др.?!
Крипто, помню, ты писал, что не любишь непонятные условия - так эта задача как раз для тебя!
RD, кстати, ее уже успешно начал решать, поэтому, думаю, он спокойно может помочь мне быть ассистентом, а RD?

На самом, деле в личной переписке с Питером Пеном мы ее...как бы это...решили. Вернее, с помощью подсказок в лоб от Питера, и моего продолжительного тупизма, задача была решена.
Думаю форумчане смогут ее решить.


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Сентябрь 17, 2013, 16:55:58
У меня такое ощущение, что кто-то прогуливает, а, Tim0512, Fortpost  и др.?!
Крипто, помню, ты писал, что не любишь непонятные условия - так эта задача как раз для тебя!
RD, кстати, ее уже успешно начал решать, поэтому, думаю, он спокойно может помочь мне быть ассистентом, а RD?
Да условие однозначное. Апну чтоб не потерять, подумаю на досуге)
Никуда ты ее уже не потеряешь:) Ты уже на крючке и будешь мучаться пока не будет решения и пока ты его не пропустишь сквозь себя:)


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Сентябрь 17, 2013, 17:48:10
У меня такое ощущение, что кто-то прогуливает, а, Tim0512, Fortpost  и др.?!
Крипто, помню, ты писал, что не любишь непонятные условия - так эта задача как раз для тебя!
RD, кстати, ее уже успешно начал решать, поэтому, думаю, он спокойно может помочь мне быть ассистентом, а RD?

Думаю, форумчане смогут ее решить.
Конечно смогут, задача-то простая! Ну, а если-что, то ты поможешь  ;)


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Сентябрь 18, 2013, 14:39:48
del


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: fortpost от Сентябрь 18, 2013, 22:37:38
Показать скрытый текст


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Крипто от Сентябрь 19, 2013, 10:58:52
У меня получается что 1-й ехал с меньшей скоростью чем 2-й, и что 2-й сделал разворот и догнал 1-го по пути в пункт Б.
Нет, конкретного расстояния АБ, нет конкретных скоростей... есть много вариантов.
Например:
АБ-путь.
АД1=? - расстояние до первого поста
Д2Б=50 - расстояние до второго поста
АМ=110
НБ=170
МН=?
В1-скорость 1го
В2-скорость 2го
Д1Д2=? надо найти

Экспериментально:
Вариант 1:
АМ=110
НБ=170
МН=27,8051
В1=110
В2=197,8051
АБ=307,8051
АД1=27,8051
Д1Д2=230

Вариант 2:
АМ=110
НБ=170
МН=292,9133
В1=200
В2=254,6023
АБ=572,9133
АД1=39,2769
Д1Д2=483,6364


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Сентябрь 19, 2013, 22:18:28
Показать скрытый текст

Ура! Молодец, Fortpost! Красавчик!  :beer:
Ну, ведь, не тяжело же?!


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Сентябрь 19, 2013, 22:48:53
У меня получается что 1-й ехал с меньшей скоростью чем 2-й, и что 2-й сделал разворот и догнал 1-го по пути в пункт Б.
Нет, конкретного расстояния АБ, нет конкретных скоростей... есть много вариантов.
Например:
АБ-путь.
АД1=? - расстояние до первого поста
Д2Б=50 - расстояние до второго поста
АМ=110
НБ=170
МН=?
В1-скорость 1го
В2-скорость 2го
Д1Д2=? надо найти

Экспериментально:
Вариант 1:
АМ=110
НБ=170
МН=27,8051
В1=110
В2=197,8051
АБ=307,8051
АД1=27,8051
Д1Д2=230

Вариант 2:
АМ=110
НБ=170
МН=292,9133
В1=200
В2=254,6023
АБ=572,9133
АД1=39,2769
Д1Д2=483,6364
Крипто, можешь не обращать внимания, как ответил Fortpost, решай по-своему!
Ты уже определил верное направление движений мотоциклистов в момент их второй встречи!
Попробуй теперь проанализировать расстояние, которое проехал после первой встречи 2-й мотоциклист - в частности, ответь на вопрос, на сколько больше он при этом проехал, чем проехал до момента первой встречи, выехав из п.А (это легко определяется путем сравнения тех расстояний, которые он в момент своих встреч не проехал до тех пунктов, в направлении которых двигался)?
Думаю, полученный результат станет для тебя уже заключительной подсказкой.


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Крипто от Сентябрь 20, 2013, 13:57:09
Нашел ошибку в своих расчетах... скорость не влияет на результат. Расстояния константы.
Итого методом подбора получил:
Дано:
АМ=110
НБ=170
Д2Б=50
Неизвестные:
МН= подбираем, получилось 128,4298
В1=100 (например)
В2=(В1(НБ+МН))/АМ=(100(170+128,4298))/110=298,4298
АБ=АМ+МН+НБ=408,4298
АД12БхВ12=18,4298
Ответ: Д1Д2=АБ-АД12Б=408,4298-18,4298-50=340
Проверка: АМ/В1=(АБ-НБ)/В2
1,1=1,1
Сошлось :sing:

Ну а теперь послушался твоего совета, и пересмотрев свой ответ(подбора).
Решение нормальное без подбора :laugh:
Соотношение расстояний:
АМ/(АБ-АМ)=(АБ-НБ)/(АБ+(АБ-НБ) или АМ/(АБ-АМ)=(АБ-НБ)/(2АБ-НБ)
АМ(2АБ-НБ)=(АБ-НБ)х(АБ-АМ)
подставим числа:
110(2АБ-170)=(АБ-170)х(АБ-110)
220АБ-18700=АБ2-170Аб-110АБ+18700
АБ2-500АБ+37400=0
Решаем уравнение:
х1=408,429795177549 - подходит
х2=91,5702048224514 - не подходит так как меньше расстояний встреч.
Итого:
АБ=408,429795177549
Сравниваем дальше отношение скоростей такое как и соотношение растояний:
В12=АМ/(АБ-АМ)=110/(408,429795177549-110)=0,368595903550972
Итого: Д1Д2=АБ-НБ-НБхВ12=408,429795177549-50-50х0,368595903550972=340


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Руслан Дехтярь от Сентябрь 20, 2013, 17:59:26
Нашел ошибку в своих расчетах... скорость не влияет на результат. Расстояния константы.
Итого методом подбора получил:
Дано:
АМ=110
НБ=170
Д2Б=50
Неизвестные:
МН= подбираем, получилось 128,4298
В1=100 (например)
В2=(В1(НБ+МН))/АМ=(100(170+128,4298))/110=298,4298
АБ=АМ+МН+НБ=408,4298
АД12БхВ12=18,4298
Ответ: Д1Д2=АБ-АД12Б=408,4298-18,4298-50=340
Проверка: АМ/В1=(АБ-НБ)/В2
1,1=1,1
Сошлось :sing:

Ну а теперь послушался твоего совета, и пересмотрев свой ответ(подбора).
Решение нормальное без подбора :laugh:
Соотношение расстояний:
АМ/(АБ-АМ)=(АБ-НБ)/(АБ+(АБ-НБ) или АМ/(АБ-АМ)=(АБ-НБ)/(2АБ-НБ)
АМ(2АБ-НБ)=(АБ-НБ)х(АБ-АМ)
подставим числа:
110(2АБ-170)=(АБ-170)х(АБ-110)
220АБ-18700=АБ2-170Аб-110АБ+18700
АБ2-500АБ+37400=0
Решаем уравнение:
х1=408,429795177549 - подходит
х2=91,5702048224514 - не подходит так как меньше расстояний встреч.
Итого:
АБ=408,429795177549
Сравниваем дальше отношение скоростей такое как и соотношение растояний:
В12=АМ/(АБ-АМ)=110/(408,429795177549-110)=0,368595903550972
Итого: Д1Д2=АБ-НБ-НБхВ12=408,429795177549-50-50х0,368595903550972=340
Ты забудь на миг про соотношение скоростей и уравнения...


Название: Re: Вот лето пролетело и Ага!
Отправлено: Питер Пен от Сентябрь 20, 2013, 19:55:41
Да не, я понимаю порыв использовать соответствие скоростей и пройденных расстояний, что бы составить уравнение, решив которое можно было бы знать расстояние между пунктами А и Б, что бы затем через пропорцию по отношению к 50 км определить расстояние от п. А до ближайшего к нему поста ДПС, а потом его же и исключить из расчетов.
Все это, конечно, хорошо, но это «пробуксовка», т.к. все необходимое в условии этой задачи уже есть.
Ну, вот, видно же, что после первой встречи 2-й мотоциклист (тот, кто выехал из Б) к моменту следующей встречи проехал на 50 км больше: 110-(170-110).
Значит 1-й, в свою очередь, после первой встречи (помимо 110 км) еще раз проехал расстояние до «своего» поста ДПС, которое нам в этом случае и нафиг знать не нужно (оно все равно исключается, также как и 50).
Поэтому расстояние между постами равно 110+110+(170-50). И это все.